Zenon

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Zenon (oko 490-430. p.n.e) je bio predsokratovski grčki filozof koji je pripadajo elejskoj školi, koju je osnovao Parmenid. Aristotel ga je prozvao izumiteljem dijalektike, ali je on najpoznatiji po svojim paradoksima.

"U ovom hirovitom svijetu ništa nije hirovitije od posmrtne slave. Jedan od najboljih primjera žrtvi radi lošeg rasuđivanja novih generacija je elejac Zenon. Nakon što je izmislio četiri argumenta od kojih su svi bili nemjerljivo suptilni i smišljeni, najveći dio kasnijih filozofa ga je proglasilo dovitljivim žonglerom, a njegove argumente sofizmima. Poslije dvije hiljade godina neprestanog opovrgavanja, ovi sofizmi su ponovo postavljeni, i postali su osnov matematičke renesanse..." Bertrand Russell, Principi Matematike I (1903).

[uredi] Život

Malo je sa sigurnošću poznato o Zenonovom životu. Iako napisan gotovo stoljeće poslije Zenonove smrti, glavni izvor informacija o Zenonovoj biografiji dobiva se iz Platonovog dijaloga zvanog Parmenid. U dijalogu, Platon opisuje posjetu Zenona i Parmenida Ateni, u vremenu kada je Parmenid imao "oko 65", Zenon je imao "gotovo 40" godina, a Sokrat je bio "veoma mlad" (Parmenid 127). Ako uzmemo da je Sokrat tada imao oko 20 godina, i znajući da je Sokratovo rođenje bilo 470. p.n.e, dobivamo da je datum rođenja Zenona oko 490. p.n.e.

Platon kaže da je Zenon bio "visok i lijep" i da je "u godinama svoje mladosti...bio obljubljen od Parmenida" (Parmenid' 127).

Drugi, možda manje pouzdani detalji Zenonovog života su dati u knjizi "Životi poznatih filozofa" Diogena Laertija, gdje je zabilježeno da je on bio sin Teleutagore, usvojeni sin Parmenida i "dobar u debatovanju obje strane neke rasprave, univerzalni kritičar", i da ga je tiran Eleje uhapsio i možda ubio.

[uredi] Djela

Iako nekoliko antičkih pisaca pominje Zenonova pisana djela, ni jedno nije sačuvano.

Platon kaže da su Zenonova djela "donešena u Atenu prvi put prilikom..." posjete Zenona i Parmenida. Platon dalje kaže da je Zenon rekao da je to djelo,"trebalo odbraniti Parmenidove argumente", da je napisano u Zenonovoj mladosti, ukradeno, i objavljeno bez njegovog odobrenja. Platon daje Sokratovo parafraziranje "prve teze prvog argumenta" u Zenonovom djelu, koja glasi:"...ako ima više bića, oni moraju biti u isto vrijeme i slični i različiti, što je nemoguće, jer slično ne može biti različito, niti različito slično".

Proklus je u svom komentaru Platonovog Parmenida rekao da je Zenon izumio "...ne manje od četrdeset argumenata koji pokazuju kontradikcije..." (st. 29)

Zenonovi argumenti su možda prvi primjeri metode saznanja zvane reductio ad absurdum, takođe zvane i dokaz pomoću kontradikcije.

[uredi] Zenonovi paradoksi

Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, utjecali, inspirisali i zadivljavali filozofe, matematičare, fizičare i školsku djecu, preko dvije hiljade godina. Najpoznatini su takozvani "argumenti protiv kretanja" opisani u Aristotelovoj Fizici. Prva tri su data ovdje, po redu, sa imenima koja im je dao Aristotel, sa modernim objašnjenjima:

Dihotomija: kretanje je nemoguće jer "ono što je u pokretu mora prvo preći pola puta prije nego što stigne do cilja". (Aristotelova Fizika VI:9, 239b10) Zamislite stvar koja treba ići od tačke A do tačke B. Da bi došla do tačke B stvar prvo mora doći do srednje tačke B1 koja je između tačaka A i B. Ali, prije nego što se ovo dogodi stvar mora doći do tačke B2 koja je između tačaka A i B1. Slično, prije nego što može i to uraditi, mora prvo doći do tačke B3 koja je između A i B2, i tako dalje. Prema tome kretanje nikada ne može početi.

A-----B3-----B2-----------B1-------------------------B

Ahil: "U utrci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je gonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvijek ima prednost." (Aristotelova Fizika VI:9, 239b15) Zamislite da Ahil trči protiv kornjače. Ahil trči 10 puta brže od kornjače, ali počinje od tačke A, 100 metara iza kornjače koja je u tački K1 (kornjači koja je sporija data je prednost). Da bi prestigao kornjaču, Ahil mora prvo doći do tačke K1. Međutim, kada je Ahil stigao do tačke K1, kornjača je prešla 10 metara i došla do tačke K2. Ponovo Ahil prči do K2. Ali, kao i prije, kada je prešao 10 metara kornjača je metar ispred njega, kod tačke T3, i tako dalje. Prema tome Ahil nikada ne može prestići kornjaču.

A----------------------------K1----------------K2---K3

Strijela: "Ako je sve nepomično što zauzima prostor, i ako sve što je u pokretu zauzima takav prostor u nekom vremenu, onda je leteća strijela nepokretna." (Aristotelova Fizika VI:9, 239b5) Zamislite da strijela leti neprestano naprijed, tokom jednog vremenskog intervala. Uzmite svaki momenat u tom vremenskom intervalu. Nemoguće je da se strijela miče u takvom momentu, jer trenutak ima trajanje 0, i strijela ne može biti na dva mjesta u isto vrijeme. Prema tome, u svakom trenutku je strijela nepomična, i tako strijela je nepomična tokom čitavog intervala.

[uredi] Predložena rješenja za Ahila i Dihotomiju

Oba paradoksa, Ahil i Dihotomija, zavise od podijele udaljenosti na nizove udaljenosti koji postaju sve manji, pa su i subjekt istim protu-argumentima.

Aristotel je istakao da kao što se udaljenost smanjuje, vrijeme potrebno da se ta udaljenost pređe takođe se smanjuje. Takav pristup riješavanju paradoksa bi doveo do demanta tvrdnje da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se pređe preko beskonačno mnogo udaljenosti.

Prije 212. p.n.e., Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Teoreme su razvijene u modernijim oblicima da bi postigle isti rezultat, ali sa tačnijom metodom za dokazivanje. Ove metode dozvoljavaju konstrukciju riješenja koje kažu da (pod normalnim uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vrijeme je konačno.

Ova riješenja su u biti geometrijski nizovi. Opći geometrijski nizovi se mogu pisati kao

$a\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{x} \right)^k,$

što je jednako ax/ (x - 1) uzevši da je x > 1 (u suprotnom niz je divergentan). Paradoksi se mogu riješiti pomoću geometrijskih sekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovo riješenje, koje u obzir uzima vrijeme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje je potrebno Ahilu da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahila i kornjače, treba zamisliti da kornjača trči sa konstantnom brzinom od v metara u sekundi (ms^-1) i da dobija prednost od udaljenosti d metara (m), a da Ahil trči sa konstantnom brzinom od xv ms^-1 sa x > 1. Ahileju je potrebno d/xv sekundi (s) da dođe do tačke sa koje je kornjača otpočela trku, a za to vrijeme kornjača je prešla d/x m. Poslije dužeg vremena d/x²v s, Ahil ima još jednu d/x m, i tako dalje. Prema tome, vrijeme potrebno Ahileju da sustigne kornjaču je

$\frac{d}{v} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{x} \right)^k = \frac{d}{v(x-1)} \,\, \texttt{s}.$

Pošto je ovo konačna vrijednost, Ahilej će jednom sustići kornjaču.

[uredi] Predložena riješenja za paradoks Strijela

Paradoks o stijeli postavlja pitanja o prirodi kretanja koja nisu odgovorena na matematički način, kao u slučaju Ahila i Dihotomije.

Ovaj paradoks se može riješiti matematički na slijedeći način: u limesu, dužina momenta teži nuli, trenutačna stopa mijenjanja ili brzine (koja je količnik pređenog puta u određenom vremenu) ne mora težiti nuli. Ovaj ne-nultni limes je brzina strijele u trenutku.

Problem sa računskim riješenjem je taj da računska radnja može opisati samo kretanje dok se limes približava, bazirano na vanjskoj observaciji da se strijela miče naprijed. Međutim, u Zenonovom paradoksu, koncepti kao brzina gube svoje značenje i nepostoji činilac, koji nije pod djelovanjem paradoksa, koji bi mogao strijeli omogućiti letenje.

Drugo gledište je to da premisa kaže da je u svakom trenutku, strijela nepomična. Međutim, ne kretati se- je relativan pojam. Niko ne može suditi, posmatrajući jedan trenutak, da strijela stoji u mjestu. Tačnije, potrebni su drugi, slični trenuci koji bi odredili, poredeći se sa drugim trenucima, da je strijela u jednom trenutku nepomična. Prema tome, u poređenju sa drugim trenucima, strijela bi bila na drugom mjestu nego što je bila i što će biti u vremenu prije i poslije. Uzevši ovo u obzir, strijela se kreće.