Zeno van Elea
Van Wikipedia
De Griek Zeno van Elea (ca. 490 v. Christus - ca. 430 v. Christus) wordt beschouwd als de grondlegger van de dialectiek.
Hij bedacht allerlei argumenten om de uitspraken van Parmenides -over de onmogelijkheid van verscheidenheid en verandering- te verdedigen.
Beroemd -en berucht- zijn zijn uiteenzettingen over de onmogelijkheid van beweging.
Inhoud |
[bewerk] Dichotomie
Volgens deze stelling is het onmogelijk om een afstand te overbruggen. Als je een afstand wil overbruggen, moet je eerst de helft van die afstand overbruggen. Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook voor die helft eerst een helft te overbruggen. Aangezien afstanden oneindig deelbaar zijn, kan men onmogelijk een gegeven afstand afleggen.
[bewerk] Achilles en de schildpad
De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De laatste krijgt een voorsprong. Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad intussen in punt B aangekomen. Arriveert Achilles in dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen in punt C, enzovoorts.
Conclusie: de achterstand wordt kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in. Dit is een paradox, want in werkelijkheid zou Achilles de schildpad wel inhalen.
[bewerk] Uitleg
De paradox wordt onder meer veroorzaakt door het feit dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Start de schildpad bijvoorbeeld met 1000 meter voorsprong, en loopt Achilles tien keer sneller dan dan de schildpad, dan convergeert de voorsprong van de schildpad via 1000 → 100 → 10 → 1 → 0,1 → 0,01 → 0,001 naar nul. Ook de tijdsafstand tussen het door Achilles bereiken van de punten A, B, C, enz. convergeert naar nul.
We kunnen dit berekenen dankzij enkele formules van wiskundige rijen & limieten van oneindige rijen.
De termen van deze oneindige som vormen een meetkundige rij met :u1(de eerste term) = 1000 en q = 0,1 We gebruiken de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met reden q (is niet gelijk aan 1)
![s_n = u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 1000 \cdot \frac{1-(0,1)^n}{1-0,1} = \frac{10000}{9} \cdot [1-(0,1)^n]](../../../math/b/8/1/b81d52b6884d5377e02529a8680ae5db.png)
De som s van de oneindige rij bekomen we door de limiet te nemen:
![s = \lim_{n\rightarrow \infty}s_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{10000}{9} \cdot [1-(0,1)^n] = \frac{10000}{9} \cdot [1-\lim_{n\rightarrow \infty}(0,1)^n]](../../../math/5/7/0/570928434dcf8e434bc93722398f8fa0.png)
En aangezien:
als ![a\in ]-1,1[](../../../math/e/3/1/e31440e9487dfad0fa78a3ad828a2bef.png)
is dus
![\frac{10000}{9} \cdot [1-\lim_{n\rightarrow \infty}(0,1)^n]= \frac{10000}{9} \cdot (1-0) = \frac{10000}{9} = 1111,1111....](../../../math/e/8/c/e8c6b454bf7f2c37cc66defd835bab45.png)
Achilles haalt de schildpad in na een afstand van :
meter. Dit is in overeenstemming met de ervaring. Wat Zeno in zijn verhaal suggereerde was dat de som van een oneindig aantal termen ook oneindig moest zijn. We hebben nu gezien dat dit niet zo is, waarmee de paradox verklaard is.
Je kunt de paradox ook op een andere manier doorzien, door naar het verloop van de tijd te kijken. Stel dat Achilles 5 meter per seconde loopt en de schildpad 5 cm. De schildpad krijgt 5 meter voorsprong. Achilles bereikt na 1 seconde de startpositie van de schildpad, die dan weer 5 cm verder is. Over die 5 cm doet Achilles 1/100 seconde. De schildpad is dan een halve millimeter verder en Achilles bereikt dat punt in 1/10.000 seconde. Zeno laat dus de tijd stilstaan om de indruk te wekken dat Achilles de schildpad niet inhaalt. Hij zet eigenlijk de video stil vlak voordat Achilles wint. De paradox blijkt zo een drogreden te zijn.
[bewerk] De vliegende pijl
Wanneer men een vliegende pijl op een ondeelbaar ogenblik beschouwt, bevindt hij zich op een bepaalde plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in de ruimte is hij dus in rust. Maar wanneer hij op elk moment in rust is, dan is hij ook gedurende de hele vlucht in rust. De pijl beweegt zich niet.
Tot in deze tijd hebben denkers zich over deze argumenten het hoofd gebroken.
Zeno's paradoxen lijken vandaag misschien triviaal, maar ze vormden een groot probleem voor de filosofen van de oude tijd en de middeleeuwen. Pas in de 17e eeuw vond men een bevredigende oplossing in de wiskundige resultaten op het gebied van oneindige reeksen en calculus.
Naar moderne inzichten wordt de paradox opgelost door het fundamentele inzicht van de calculus dat een som van oneindig veel termen een eindig resultaat kan opleveren. Het oneindige aantal tijdsspannes dat Achilles nodig heeft om de vorige posities van de schildpad te bereiken, leveren bij elkaar opgeteld een eindige totaaltijd, en dat is inderdaad de tijd die Achilles nodig heeft om de schildpad in te halen.
[bewerk] Commentaar
De Grieken waren zeer exacte denkers. De filosofen dwongen iedereen zich heel nauwkeurig uit te drukken. Bij de differentiaalrekening van Newton en Leibniz gaat men uit van de limiet van iets dat "willekeurig dicht tot nul nadert". Een Griek zou onmiddellijk vragen: 'hoe dicht tot nul? Druk je precies uit!' Wij accepteren deze vaagheid omdat "het werkt"; omdat je er allerlei praktische dingen mee kunt berekenen. Voor de theoretisch ingestelde Griekse filosofen zou dit geen bijster overtuigend argument zijn.
Als men de uitspraken van Zeno op zou vatten als uitspraken over de empirische werkelijkheid dan is het volgende uitgangspunt van Zeno wellicht het zwakke punt: je kunt tijd niet in ondeelbare ogenblikken opdelen; tijd is continu. (Störig, 1964, p.128)
Maar het is, afgezien van de vraag of Störig hierin gevolgd moet worden, tevens allesbehalve zeker of deze interpretatie Zeno voldoende recht doet (en daarmede de geschiedenis van de filosofie zelf). Hij wordt namelijk door een tijdgenoot sprekend opgevoerd en wel door Plato in zijn dialoog Parmenides. Zeno verklaart daar dat zijn werk opgevat moet worden als steun aan zijn leermeester Parmenides die het Ene verdedigt jegens de mensen die het principe van het Vele verkondigen. Zie de externe link. (De precieze aard van dat "ene" is misschien voor de hedendaagse mens wat moeilijk te vatten: de object-subject scheiding bestond toentertijd immers nog niet zoals die nu bestaat terwijl zijn en denken veelal samenvielen). Parmenides postuleert het Ene als werkelijk zijnde en de vele verschijningsvormen van al het zijnde aan ons als schijn. Het Ene zou eventueel opgevat kunnen worden als een voorloper van monotheïstische denkbeelden maar het zou ook beschouwd kunnen worden als het vooruitlopen op ons huidige individu (dat in zijn naamgeving immers ook verwijst naar een ondeelbare eenheid).
Zeno zegt in die dialoog (zie externe link) onder meer dat het zijn bedoeling was om met zijn betoog (die hij achteraf als een soort jeugdzonde zag, zie het fragment uit Plato) de standpunten van de aanhangers van het Vele op dezelfde manier te ridiculiseren als zij deden met die van Parmenides.
De manier waarop Zeno's paradoxen begrepen moeten worden is, vereenvoudigd gepresenteerd, ongeveer als volgt: Als je niet uitgaat van het Ene ga je dus uit van het Vele, het Ene zou dan deelbaar zijn maar als je het Ene (tijd, afstand etc.) daadwerkelijk deelt dan kom je tot rare tegenstrijdigheden (want pijlen vliegen wel en hazen halen wel degelijk schildpadden in).
Toentertijd leverde dit soort paradoxen grote problemen op mede omdat de logica en wiskunde nog niet zo ver ontwikkeld waren maar ook omdat veel scholen een houding hadden die later als absoluut idealisme betiteld zou kunnen worden: zijn en denken vielen samen (oftewel, buiten het denken bestond er niets) en van het onderscheid tussen de beschrijver (of beschrijving) en het beschrevene wist men niets of wilde men niets weten.
Een van de eersten die zich met de inhoudelijke weerlegging van Zeno's paradoxen heeft bezig gehouden was Aristoteles.
[bewerk] Externe link
- Fragment van de dialoog tussen Zeno en Socrates (zie vooral de op een na laatste alinea van deze pagina)
