Brachystochrona

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Brachystochrona (označovaná také jako křivka nejkratšího spádu) je křivka spojující dva body, po které se hmotný bod dostane z jednoho bodu do druhého působením homogenního gravitačního pole za nejkratší čas.

Brachystochrona představuje vždy část oblouku cykloidy.

Tento pojem zavedl poprvé Johann Bernoulli roku 1696 v časopise Acta Eruditorium.

[editovat] Úloha o brachystochroně

Úkolem je najít tvar spojnice místa A a B, po které by se těleso pohybující se vlivem gravitační síly, dostalo z místa A do místa B v nejkratším čase. Předpokládá se pohyb v homogenním gravitačním poli a odporové síly se zanedbávají.

Schéma k úloze o brachystochroně.

Úlohu lze přeformulovat tak, že hledáme takovou hladkou křivku spojující body $A [x A, y A], B [x B, y B]$ , přičemž předpokládáme $y A > y B$ a $x A < x B$ , po níž se hmotný bod o hmotnosti $m$ pohybuje v tíhovém poli od bodu A do bodu B za nejkratší čas. Volba souřadnicového systému je zobrazena na obrázku.

Podle zákona o zachování energie platí

$\frac{1}{2}mv^2 = m g(y_A - y)$

Úpravou tohoto vztahy dostaneme výraz pro rychlost

v 2 = 2 g (y A - y)

Rychlost je však možné podle vyjádřit také jako

$v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 + {y^\prime}^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ ,

kde bylo užito vztahu pro délku oblouku rovinné křivky, přičemž $s$ představuje oblouk křivky.

Předpokládáme, že platí $y < y A$ . Pokud by totiž v některém bodě platilo $y = y A$ , byla by v tomto bodě podle předchozích vztahů rychlost v nulová a k dalšímu pohybu by bylo nutné dodat hmotnému bodu další energii. Pokud tedy předpokládáme $y < y A$ pro $(x_A,x_B\rangle$ , dostaneme z předchozích výrazů vztah

$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}s}{v} = \sqrt{\frac{1 + {y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x$

Celkovou dobu potřebnou k proběhnutí podél křivky z bodu A do B lze tedy zapsat jako

$T = \int_{x_A}^{x_B} \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x$

Fyzikální problém se tedy redukuje na řešení variačního problému s funkcionálem $F(y,y^\prime) = \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}$ . V tomto případě se jedná o jeden ze speciálních případů Eulerovy rovnice. Dosazením uvedeného funkcionálu získáme první integrál Eulerovy rovnice

$\sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}} - y^\prime \frac{y^\prime}{\sqrt{2g(y_A-y)}}\frac{1}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = C$ ,

kde $C$ je konstanta.

Úpravou posledního vztahu dostaneme

$1 = C\sqrt{2g(y_A-y)}\sqrt{1+{y^\prime}^2}$

a umocněním

$1 = 2 C^2 g(y_A-y)(1+{y^\prime}^2)$

Za předpokladu $C\neq 0$ lze provést substituci $K = \frac{1}{2gC^2}$ , čímž získáme

$\frac{K}{1+{y^\prime}^2} = y_A-y$

Položíme-li nyní $y^\prime = \operatorname{tg}\varphi$ , dostaneme řešením předchozí diferenciální rovnice parametrické vyjádření hledané křivky ve tvaru