Cykloida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cykloida generovaná valícím se kolem

Cykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Obsah

1 Prostá cykloida
2 Zkrácená a prodloužená cykloida
3 Vlastnosti
4 Podívejte se také na
- 4.1 Externí odkazy

[editovat] Prostá cykloida

Prostá cykloida.

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

x = a (t - sin t)

y = a (1 - cos t)

kde $a$ je poloměr kružnice a parametr $t$ odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

$x = a \arccos \frac{a-y}{a} - \sqrt{y(2a-y)}$

pro $y\in\langle 0,2a\rangle$ , resp.

$x = a\left(2\pi - \arccos\frac{a-y}{a}\right) + \sqrt{y(2a-y)}$

pro $y\in\langle 0,2a\rangle$ .

Perioda cykloidy je $2π a$ .

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od vrcholu do bodu $[x, y]$ je

$s = 4a\left(1-\cos\frac{t}{2}\right)$

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

s = 8 a

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

S = 4π a 2

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

$r = \left|4a\sin\frac{t}{2}\right|$

Poloměr první křivosti ve vrcholu je

r = 4 a

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy $x$ posunuta o $π a$ souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy $y$ je posunuta o $2 a$ nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

[editovat] Zkrácená a prodloužená cykloida

Zkrácená cykloida.

Prodloužená cykloida.

Pokud bod pevně spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru $a$ je $d$ , pak pro $d < a$ získáme cykloidu zkrácenou a pro $d > a$ cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

x = a t - d sin t

y = a - d cos t

[editovat] Vlastnosti

Prostá cykloida má nekonečně mnoho hrotů.
Zkrácená cykloida má nekonečně mnoho inflexních bodů.
Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho uzlů (dvojných bodů).
Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší zatížení, proto mnoho oblouků mostů má právě její tvar.
Část cykloidy je řešením úlohy o brahystochroně