Diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Diferenciální rovnice je matematická rovnice, ve které jako proměnné vystupují derivace funkcí. Diferenciální rovnice stojí v základech fyziky a jejich aplikace najdeme ve většině oblastí lidského vědění.

Matematická teorie diferenciálních rovnic se zabývá existencí řešení, jednoznačností (čili zda je řešení jen jedno), závislostí řešení na počátečních a okrajových podmínkách.

Ve fyzice a dalších aplikacích je zajímavé zejména získání analytického řešení, tedy funkce u(t), která rovnici řeší. Pokud taková funkce nejde analyticky vyjádřit, vstupuje do hry numerické řešení diferenciálních rovnic.

[editovat] Dělení diferenciálních rovnic

Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): obsahují derivace hledané funkce jen podle jedné proměnné.
Parciální diferenciální rovnice (PDR): obsahují derivace hledané funkce podle více proměnných, tedy parciální derivace.

Pokud je dáno $m$ diferenciálních rovnic pro $n$ neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.

[editovat] Řešení rovnice

Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.

Řešení diferenciálních rovnic dělíme na

obecné: Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární. partikulární (částečné): Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení. singulární (výjimečné): Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.

Partikulární rešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.

[editovat] Příklad

Typickým příkladem diferenciální rovnice je

$\frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t} = u(t)$

jejíž řešením je funkce $u(t) = c \cdot e^t$ , kde c je libovolná konstanta. Tato konstanta se určuje z počátečních podmínek, tedy zadané hodnoty u(t) v jedné hodnotě t (typicky u(0)). Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu