Hyperboloid

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hyperboloid je těleso, jehož rovinnými řezy jsou dvě hyperboly a elipsa, popř. kružnice.

Jako hyperboloid bývá často označován pouze plášť uvedeného tělesa, tzn. plocha bez podstav.

Hyperboloid může existovat jako jednodílný, kdy je hyperboloid tvořen jednou plochou, a dvojdílný, který je tvořen dvěma oddělenými plochami.

Obsah

1 Algebraické vyjádření
- 1.1 Jednodílný hyperboloid
- 1.2 Dvojdílný hyperboloid
2 Rotační hyperboloid
- 2.1 Jednodílný
  - 2.1.1 Vlastnosti
- 2.2 Dvojdílný
  - 2.2.1 Vlastnosti
3 Podívejte se také na

[editovat] Algebraické vyjádření

[editovat] Jednodílný hyperboloid

Jednodílný hyperboloid s eliptickým řezem.

Rovnice jednodílného hyperboloidu se středem v bodě $[x 0, y 0, z 0]$ a poloosou $a$ v souřadnicové ose $x$ , poloosou $b$ v ose $y$ a poloosou $c$ v ose $z$ má tvar

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}-\frac{{(z-z_0)}^2}{c^2}=1$

Poloosy $a, b$ jsou reálné a poloosa $c$ je imaginární.

Na ploše jednodílného hyperboloidu existují dvě soustavy přímek, přičemž každá přímka jedné soustavy protíná každou přímku druhé soustavy, avšak dvě různé přímky jedné soustavy jsou mimoběžné. Pro hyperboloid se středem v bodě $[0,0,0]$ lze obě soustavy rovnic přímek zapsat jako

$k_1\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right) = k_2\left(1-\frac{y}{b}\right)$

$k_2\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=k_1\left(1+\frac{y}{b}\right)$

$k_1\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=k_2\left(1+\frac{y}{b}\right)$

$k_2\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=k_1\left(1-\frac{y}{b}\right)$

kde $k 1, k 2$ jsou libovolná nenulová čísla.

[editovat] Dvojdílný hyperboloid

Pro dvojdílný hyperboloid se středem $[x 0, y 0, z 0]$ a poloosou $a$ v souřadnicové ose $x$ , poloosou $b$ v ose $y$ a poloosou $c$ v ose $z$ platí rovnice

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}-\frac{{(z-z_0)}^2}{c^2}=-1$

Poloosy $a, b$ jsou imaginárními poloosami a poloosa $c$ je reálná.

[editovat] Rotační hyperboloid

Rotační hyperboloid je těleso ohraničené plochou, která vznikne rotací hyperboly kolem její osy a dvěma kruhy, které tvoří podstavy tělesa.

[editovat] Jednodílný

Jednodílný rotační hyperboloid.

Je-li osou rotace hlavní osa rotující hyperboly, pak vznikne jednodílný rotační hyperboloid.

[editovat] Vlastnosti

Objem jednodílného rotačního hyperboloidu je

$V = \frac{1}{3}\pi v(2a^2+\rho^2)$ ,

kde $a$ je délka hlavní poloosy hyperboly, $v$ je výška hyperboloidu a $ρ$ je poloměr shodných kruhových podstav, které leží v rovnoběžných rovinách.

[editovat] Dvojdílný

Dvojdílný rotační hyperboloid.

Je-li osou rotace hlavní osa, pak vznikne dvojdílný rotační hyperboloid.

[editovat] Vlastnosti

Objem dvojdílného rotačního hyperboloidu udává vztah

$V = \frac{1}{3}\pi v \left(3\rho^2 - \frac{b^2 v^2}{a^2}\right)$ ,

kde $a$ je délka hlavní poloosy hyperboly, $b$ je délka vedlejší poloosy hyperboly, $v$ je výška jedné části dvojdílného hyperboloidu a $ρ$ je poloměr shodných kruhových podstav, které leží v rovnoběžných rovinách.