Plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Plocha je množina všech bodů prostoru, jejichž pravoúhlé souřadnice vyhovují rovnici

F (x, y, z) = 0

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu.

Pojem plocha se používá nejen pro označení geometrického útvaru v prostoru (např. válcová nebo kuželová plocha), ale také pro označení obsah geometrického obrazce.

Body a přímky mají nulovou plochu. V závislosti na definici může mít objekt i nekonečnou plochu, např. celá Euklidovská plocha

[editovat] Body plochy

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

[editovat] Rovnice

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

[editovat] Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

F (x, y, z) = 0

[editovat] Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x = x (u, v)

y = y (u, v)

z = z (u, v)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u, v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u, v$ z určitého oboru $Ω$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $Ω$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$ .

[editovat] Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z = f (x, y)

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

[editovat] Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy $\mathbf{n}$ , rádiusvektorem $\mathbf{r}$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ uvést v různých tvarech.

[editovat] Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů $\mathbf{n}$ a $\mathbf{r}$ .

$\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}$

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

[editovat] Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru $\mathbf{r}$ .

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}$

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}$

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}$

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

[editovat] Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu $E, F, G$ a základními veličinami plochy druhého řádu $L, M, N$ .

$(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0$

$(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0$

[editovat] Vlastnosti

Zavedeme matici

$\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h = 2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h < 2$ , pak jde o singulární body.

Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $Ω$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h = 2$ , pak plochu označujeme jako hladkou.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../p/l/o/Plocha.html“

Kategorie: Geometrie | Prostorové geometrické útvary