Kvadratická plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kvadratická plocha (kvadrika) je taková plocha, kterou lze v kartézských souřadnicích popsat obecnou rovnicí

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44} = 0\,$ ,

kde $a i j$ jsou koeficienty, přičemž alespoň jedno z čísel $a 11, a 22, a 33, a 12, a 13, a 23$ je nenulové. Tato rovnice se nazývá rovnicí kvadratické plochy.

Rovnici kvadratické plochy nemusí vyhovovat žádný reálný bod. V takovém případě hovoříme o imaginární kvadrice.

[editovat] Invarianty

Z koeficientů rovnice kvadratické plochy lze vytvořit tzv. ortogonální invarianty. Invarianty jsou funkcemi koeficientů uvedené rovnice, přičemž jejich hodnoty se nemění při transformaci souřadnic posunutím a otočením.

Rovnice kvadratické plochy má čtyři invarianty.

[editovat] Diskriminant kvadratické plochy

$A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}$

[editovat] Subdeterminant diskriminantu kvadratické plochy

$A_{44} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$

[editovat] Kvadratický invariant plochy

$I_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$

[editovat] Lineární invariant plochy

I 1 = a 11 + a 22 + a 33

[editovat] Další invarianty

Kromě uvedených invariantů existují ještě dva invarianty, které však zůstávají invariantní pouze při transformaci souřadnic otočením.

$S_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} \\ a_{14} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24} \\ a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}$

$S_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{24} \\ a_{14} & a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{13} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}$

[editovat] Rozdělení kvadratických ploch

Uvedené invarianty umožňují určit druh kvadratické plochy.

Druh kvadratické plochy závisí na invariantech, které se nemění při posunutí a rotaci, proto se ani druh kvadratické plochy nemění při posunutí a rotaci.

Každou kvadratickou plochu lze vyjádřit tzv. kanonickou rovnicí, což je rovnice odpovídající danému druhu kvadratické plochy, jejíž střed leží v počátku souřadné soustavy a její osy jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic.

Každou kvadratickou plochu lze převést na odpovídající kanonickou rovnici vhodnou transformací souřadnic (posunutím nebo otočením). Řešením tzv. charakteristické rovnice

k 3 - I 1 k 2 + I 2 k - A 44 = 0

lze získat koeficienty $k 1, k 2, k 3$ , s jejichž pomocí lze vyjádřit rovnici kvadratické pplochy po transformaci (viz odpovídající sloupec v tabulce).

Invarianty		Druh plochy	Kanonická rovnice	Rovnice po transformaci
$A_{44}\neq 0$	$A < 0$ $I 2 > 0$ $I 1 A 44 > 0$	reálný elipsoid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$k_1 x^2 + k_2 y^2 + k_3 z^2 + \frac{A}{A_{44}} = 0$
	$A > 0$ $I 2 > 0$ $I 1 A 44 > 0$	imaginární elipsoid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$
	$A = 0$ $I 2 > 0$ $I 1 A 44 > 0$	imaginární kužel (reálný bod)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$
	$A > 0$ $I 2 < 0$ nebo $I 1 A 44 < 0$	jednodílný hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
	$A < 0$ $I 2 < 0$ nebo $I 1 A 44 > 0$	dvojdílný hyperboloid	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$
	$A = 0$ $I 2 < 0$ nebo $I 1 A 44 < 0$	reálný kužel	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
$A 44 = 0$ $A\neq 0$	$A < 0$	eliptický paraboloid	$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}-2z=0$	$k_1 x^2 + k_2 y^2 \pm 2 \sqrt{-\frac{A}{I_2}}z = 0$
$A 44 = 0$ $A\neq 0$	$A > 0$	hyperbolický paraboloid	$\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}-2z=0$	$k_1 x^2 + k_2 y^2 \pm 2 \sqrt{-\frac{A}{I_2}}z = 0$
$A 44 = 0$ $A = 0$ $I_2\neq 0$	$I 2 > 0$ $I 1 S 3 < 0$	reálný eliptický válec	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$k_1 x^2 + k_2 y^2 + \frac{S_3}{I_2} = 0$
	$I 2 > 0$ $I 1 S 3 > 0$	imaginární eliptický válec	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$
	$I 2 > 0$ $S 3 = 0$	dvojice různoběžných imaginárních rovin (reálná přímka)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$
	$I 2 < 0$ $S_3\neq 0$	hyperbolický válec	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
	$I 2 < 0$ $S 3 = 0$	dvojice různoběžných reálných rovin	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$
$A 44 = 0$ $A = 0$ $I 2 = 0$	$S_3\neq 0$	parabolický válec	$x 2 - 2 p y = 0$	$k_1 x^2 \pm 2\sqrt{-\frac{S_3}{I_1}}y = 0$
$A 44 = 0$ $A = 0$ $I 2 = 0$ $S 3 = 0$	$S 2 < 0$	dvojice rovnoběžných reálných rovin	$x 2 - a 2 = 0$	$k_1 x^2 + \frac{S_2}{I_1} = 0$
	$S 2 > 0$	dvojice rovnoběžných imaginárních rovin	$x 2 + a 2 = 0$
	$S 2 = 0$	jediná rovina (dvě splývající roviny)	$x 2 = 0$

[editovat] Vlastnosti

Souřadnice středu kvadratické plochy lze získat řešením soustavy

a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 = 0

a 12 x + a 22 y + a 23 z + a 24 = 0

a 13 x + a 23 y + a 33 z + a 34 = 0

Řešením této soustavy nemusí být žádný bod a kvadrika tedy nemusí mít žádný střed (tzv. nestředová kvadrika). Řešením však může být nejen jeden bod, ale také přímka nebo celá rovina.