Číslo pí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Symbolem této konstanty je malé řecké písmeno π

Číslo pí (označované řeckým písmenem pí, $π$ , podle řeckého περιφέρεια periféreia, obvod) vyjadřuje poměr obvodu kruhu (ležícího v rovině) k jeho průměru. Tento poměr je pro všechny průměry kruhu stejný, rovný přibližně:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279…

Číslo $π$ bývá také označováno jako Ludolfovo číslo.

[editovat] Vlastnosti

Číslo $π$ je iracionální, nedá se vyjádřit jako zlomek s celočíselnými koeficienty (a jeho přesnou hodnotu nelze zapsat konečným desetinným rozvojem). $π$ je dokonce transcendentní, tzn. neexistuje žádný polynom s racionálními koeficienty, jehož by $π$ bylo kořenem.

Transcendentalita čísla $π$ také znamená, že klasická úloha kvadratury kruhu (sestrojit čtverec o stejném obsahu jako daný kruh jen pomocí pravítka a kružítka) není řešitelná.

[editovat] Historie

Toto číslo bylo známo již v antice, např. Babyloňané používali asi v roce 2000 př. n. l. hodnotu 25/8 = 3,125. Egypťané v té době používali hodnotu 3,16045. V novodobé historii se proslavil v roce 1615 nizozemský matematik a profesor na univerzitě v Leidenu Ludolph van Ceulen [vyslov: ludolf fan kélen], který jeho hodnotu vyčíslil na 35 desetinných míst.

V roce 1761 Johann Heinrich Lambert dokázal, že číslo je iracionální, německý matematik Lindeman pak v roce 1882 dokázal, že je transcendentní.

[editovat] Vzorce obsahující $π$

Číslo $π$ je jednou z nejzákladnějších matematických konstant a objevuje se v mnoha vzorcích a výrazech nejen z matematiky.

[editovat] Geometrie

Pí je poměr obvodu kruhu k jeho průměru

Už z definice je zřejmé, že $π$ se bude objevovat ve výrazech týkajících se kruhů a koulí.

Obvod kruhu o poloměru r:

$o = 2 \pi r\,\!$

Obsah kruhu o poloměru r:

$S = \pi r^2\,\!$

Obsah elipsy o poloosách a a b:

$S = \pi a b\,\!$

Objem koule o poloměru r:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3\,\!$

Povrch koule o poloměru r:

$S = 4 \pi r^2\,\!$

Objem válce o poloměru r a výšce h:

$V = \pi r^2 h\,\!$

Povrch válce o poloměru r a výšce h:

$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)\,\!$

Objem kuželu o poloměru r a výšce h:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\,\!$

Povrch kuželu o poloměru r a výšce h:

$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})\,\!$

Převod radiánů na stupně a naopak:

π

radiánů je rovno 180°.

[editovat] Analýza

$π$ se objevuje ve vzorcích pro součty nekonečných řad, integrálech atd.

Leibnizova řada

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$

Chybová funkce

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Basilejský problém (viz též Riemannova funkce)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4) = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

Obecně, ζ(2n) je racionálním násobkem

π

²ⁿ pro libovolné n celé kladné.

Hodnota funkce gama v 1/2:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

Stirlingův vzorec

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Eulerova rovnost (Richardem Feynmanem označená za „nejpozoruhodnější matematický vzorec“)

$e^{\pi i} + 1 = 0\,\!$

Eulerova funkce fí:

$\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 \left(\frac{n}{\pi}\right)^2$

Plocha čtvrtiny jednotkového kruhu:

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}$

[editovat] Řetězové zlomky

Číslo $π$ lze pomocí řetězových zlomků vyjádřit mnoha způsoby. Mezi nimi například:

$\pi = 3 + \frac{1}{6 + \frac{9}{6 + \frac{25}{6 + \frac{49}{6 + \frac{81}{6 + \ldots}}}}}$

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \ldots}}}}}$

[editovat] Teorie čísel

Pravděpodobnost, že dvě náhodně zvolená celá čísla jsou nesoudělná, je $\frac{6}{\pi^2}$ .

[editovat] Pravděpodobnost a statistika

V rovnicích popisujících mnohá rozdělení se vyskytuje číslo $π$ , například:

Hustota pravděpodobnosti u normálního rozdělení se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ:

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

Hustota pravděpodobnosti u Cauchyova rozdělení:

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}$

Se znalostí faktu, že pro libovolnou hustotu pravděpodobnosti platí, že $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ , lze z předchozích vzorců odvodit další vzorce pro výpočet čísla $π$ .

[editovat] Fyzika

Princip neurčitosti:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$

Einsteinova rovnice z obecné teorie relativity:

$R_{ik} - \frac{g_{ik} R}{2} + \Lambda g_{ik} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ik}$

Coulombův zákon elektrické síly:

$F = \frac{\left|Q_1 Q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Přítomnost čísla $π$ v těchto vzorcích je ovšem pouze důsledek volby fyzikálních jednotek, je to tedy pouhá konvence. Vyjádříme-li totéž v tzv. přirozené soustavě jednotek většina číselných konstant ze vzorců zmizí, aniž by se změnil fyzikální význam.

[editovat] Přibližné hodnoty

V praktických výpočtech obvykle stačí jen hrubé přiblížení hodnoty $π$ pomocí několika prvních číslic desetinného rozvoje nebo jednoduchým zlomkem. Nejčastěji jsou používány zlomky 22/7 (tři platné číslice) nebo 355/113 (7 platných číslic). Další zlomky ještě přesněji aproximující číslo $π$ lze určit pomocí jeho zápisu řetězovým zlomkem.

[editovat] Empirické určení hodnoty $π$

Zajímavý způsob přibližného určení hodnoty čísla $π$ poskytuje Buffonův problém: Na desce jsou rovnoběžně nakresleny přímky, vzdálené mezi sebou S jednotek. Pokud se jehla o délce L jednotek (L > S) nechá n-krát náhodně dopadnout na tuto desku a při x z těchto n pokusů jehla dopadne tak, že překříží nějakou čáru (x > 0), pak pro velké n bude přibližně platit $\pi \approx \frac{2 n L}{x S}$

[editovat] Výpočet $π$ programem bc

V libovolně přesném kalkulátoru bc, obsaženém v unixových operačních systémech, můžeme číslo $π$ vypočítat jako čtyřnásobek hodnoty arctg(1) takto (v tomto příkladu s přesností na 30 desetinných míst):

$ echo 'scale=30; 4*a(1)' | bc -l
3.141592653589793238462643383276

Takto získaný výsledek většinou obsahuje chybu na poslední číslici.

[editovat] Zápis $π$ v desítkové soustavě

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
  5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 
  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 
  4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 
  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 
  4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 
  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 
  7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 
  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 
  0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 
  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
  6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 
  0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 
  1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
  4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
  5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
  5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 
  7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
  5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
  1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201...

[editovat] Memorování číslic

Rekord v memorování číslic čísla $π$ je 100 000 desetinných míst (3. října 2006, Akira Haraguchi).

Je více způsobů, jak si zapamatovat co nejvíce míst desetinného rozvoje $π$ .

Poměrně známé jsou mnemotechnické pomůcky pro zapamatování si čísla pí (pomocí počtu písmen ve slově): Sám u sebe v hlavě magického pí číslic deset mám. (9 za desetinnou čárkou); Lín a kapr u hráze prohlídli si rybáře, udici měl novou, jikrnáči neuplovou. (12 za desetinnou čárkou); Mám ó bože ó velký pamatovat si takový cifer řád, velký slovutný Archimedes, pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy! (30 číslic za desetinnou čárkou).

Dalším zajímavým způsobem jsou takzvané piemy – básně, které reprezentují $π$ tím způsobem, že délka každého slova reprezentuje jednu číslici. Kupříkladu báseň Cadaeic Cadenza [1] reprezentuje prvních 3834 číslic.

[editovat] Podívejte se také na

Eulerovo číslo
Piphilology na anglické Wikipedii
Cadaeic Cadenza na anglické Wikipedii

[editovat] Externí odkazy

A000796 v OEIS (anglicky)
$π$ v encyklopedii Mathworld (anglicky)
$π$ na milion desetinných míst (anglicky)
$π$ na milion desetinných míst (česky)
Text básně Cadaeic Cadenza (anglicky)

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../%C4%8D/%C3%AD/s/%C4%8C%C3%ADslo_p%C3%AD.html“

Kategorie: Matematické konstanty

Číslo pí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Historie

[editovat] Vzorce obsahující $π$

[editovat] Geometrie

[editovat] Analýza

[editovat] Řetězové zlomky

[editovat] Teorie čísel

[editovat] Pravděpodobnost a statistika

[editovat] Fyzika

[editovat] Přibližné hodnoty

[editovat] Empirické určení hodnoty $π$

[editovat] Výpočet $π$ programem bc

[editovat] Zápis $π$ v desítkové soustavě

[editovat] Memorování číslic

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy

Views

Navigace

Hledání

V jiných jazycích

Číslo pí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Historie

[editovat] Vzorce obsahující π

[editovat] Geometrie

[editovat] Analýza

[editovat] Řetězové zlomky

[editovat] Teorie čísel

[editovat] Pravděpodobnost a statistika

[editovat] Fyzika

[editovat] Přibližné hodnoty

[editovat] Empirické určení hodnoty π

[editovat] Výpočet π programem bc

[editovat] Zápis π v desítkové soustavě

[editovat] Memorování číslic

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy

Views

Navigace

Hledání

V jiných jazycích

[editovat] Vzorce obsahující $π$

[editovat] Empirické určení hodnoty $π$

[editovat] Výpočet $π$ programem bc

[editovat] Zápis $π$ v desítkové soustavě