Laplaceův operátor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem Δ.
Laplace je invariantní vůči záměně souřadnic - to znamená, že (je-li aplikován na vektorové či tenzorové pole), výsledek je opět vektorové či tenzorové pole.
[editovat] Matematický popis
Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar
- .
Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, zpravidla se zapisuje speciálně v kartézských souřadnicích jako
v n-rozměrném prostoru, nebo speciálně
v prostoru trojrozměrném.
Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v časoprostoru. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem a má hodnotu
[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic
Následující vztahu udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí
nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích
Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3, je vyjádření Laplaceova operátoru
Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy