Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Laplaceův operátor - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Laplaceův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem Δ.

Laplace je invariantní vůči záměně souřadnic - to znamená, že (je-li aplikován na vektorové či tenzorové pole), výsledek je opět vektorové či tenzorové pole.

[editovat] Matematický popis

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \mathrm{div} \, \mathrm{grad}.

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, zpravidla se zapisuje speciálně v kartézských souřadnicích jako

\Delta = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}

v n-rozměrném prostoru, nebo speciálně

\Delta =  \frac{\partial^2} {\partial x^2}  + \frac{\partial^2} {\partial y^2}  + \frac{\partial^2} {\partial z^2}.

v prostoru trojrozměrném.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v časoprostoru. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem \square a má hodnotu

\square =  {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahu udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

\Delta f  = {1 \over r} {\partial \over \partial r}   \left( r {\partial f \over \partial r} \right)  + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

Ve sférických souřadnicích:

\Delta f  = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}   \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)  + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}   \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)  + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2},

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

\Delta f  = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}   \left( rf \right)  + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}   \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)  + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3, je vyjádření Laplaceova operátoru

\Delta f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial }{\partial x_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_2} \left( \frac{h_1 h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x_3}\right) \right)

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

\Delta {f} = \left( f_{;i} g^{ik} \right)_{;k} = {{f}^{;k}}_{;k}

[editovat] Podívejte se také na

Vektorové diferenciální operátory
Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu