Nabla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nabla je diferenciální operátor ve vektorové analýze. Značí se symbolem nabla $\nabla$ nebo $\vec{\nabla}$ (v anglosaských zemích $\underline \nabla$ ), aby se vyjádřila jeho podobnost s vektorem. Jméno nabla se odvozuje od názvu hebrejského strunného nástroje, jenž měl zhruba tento tvar.

Nabla se používá pro zkrácený zápis matematických operátorů jako gradient, divergence, rotace a jiných.

V n-dimenzionálním prostoru Rⁿ vytváří ∇ všechny parciální derivace funkce Rⁿ podle R, což je přesně vzato gradient funkce f.

Jako n-vektor má nabla tvar: ${\nabla} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)$

Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter.

V tenzorové analýze se operátor nabla prokázal jako důležitý příklad kovariantního tenzoru.

Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

[editovat] Zápis význačných vzorců pomocí operátoru nabla

Následující pravidla platí pro (ve fyzice nejobvyklejší) trojdimenzionální eukleidovský prostor R³ s pravoúhlými souřadnicemi x, y a z.

Aplikací na skalární pole $\begin{matrix} \Phi(x,y,z) \end{matrix}$ dostáváme gradient tohoto skalárního pole:

$\operatorname{grad\ }\Phi = \nabla \Phi = \left( \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \mathbf{e}_z,$

kde $\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z$ jsou jednotkové vektory prostoru R³.

Skalárním součinem nably s vektorovým polem $\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}$ dostáváme divergenci tohoto pole:

$\operatorname{div\ }\mathbf{V} = {\nabla} \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.$

Rotaci vektorového pole $\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}$ pak získáme vektorovým součinem $\nabla$ s tímto polem.

$\operatorname{rot\ }\mathbf{V} = {\nabla} \times \mathbf{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}.$

Dále pak pro libovolná skalární pole φ, ψ a f a vektorová pole A a B platí následující početní operace:

$\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi$

$\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})$

$\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}$

$\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi$

$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$

$\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi$ (viz také Laplaceův operátor)

$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$

$\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi$

$\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}$