Gradient

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).

Gradient je diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla $\nabla$ .

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient:

$\nabla \phi = \mathrm{grad} \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}$

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadné soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru

$\nabla f = \mathbf{e}_i \frac{\part f}{\part x_i}$ ,

kde $x 1, x 2,..., x n$ jsou souřadnice a $\mathbf{e}_i$ jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedničku.

[editovat] Vlastnosti gradientu

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti:

Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla\left(af+bg\right) = a\nabla f + b\nabla g\,,$

splňuje Leibnitzovo pravidlo pro funkce

$\nabla\left(fg\right) = \left(\nabla f\right) g + f\nabla g\,,$

gradient skalárního součinu vektorů splňuje

$\nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F} +\mathbf{F}\times\left(\nabla\times\mathbf{G}\right) +\mathbf{G}\times\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\,,$

kde ∇ × F je rotace vektorového pole F.

[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahu udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}.$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla {f} = \frac{1}{h_1}{\partial f \over \partial x_1}\boldsymbol{\hat x}_1 + \frac{1}{h_2}{\partial f \over \partial x_2}\boldsymbol{\hat x}_2 + \frac{1}{h_3}{\partial f \over \partial x_3}\boldsymbol{\hat x}_3.$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

$\nabla {f} = f_{;k} \boldsymbol{\mathrm{d}}x^k, \nabla {f} = f_{;i}g^{ik} \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k} =f^{;k} \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k}$

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.