Metrický tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Obsah

1 Metrická forma
2 Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností
3 Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem
4 Vlastnosti
5 Podívejte se také na

[editovat] Metrická forma

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Vzdálenost dvou bodů je metrickým tenzorem $g i j$ udána v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru přepisem:

$\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\,$ ,

kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že $x i$ představují kartézské souřadnice v $n$ -rozměrném euklidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát

$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x_i\,\mathrm{d}x_i$

Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice $ξ j$ , tzn. $\mathrm{d}x_i = \frac{\part x_i}{\part \xi^j}\mathrm{d}\xi^j$ , lze metrickou formu přepsat na tvar

$\mathrm{d}s^2 = \frac{\part x_i}{\part \xi^j}\frac{\part x_i}{\part \xi^k}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k$

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

$g_{ij} = \frac{\part x_k}{\part\xi^i}\frac{\part x_k}{\part\xi^j} = \frac{\part x_1}{\part\xi^i}\frac{\part x_1}{\part\xi^j} + \frac{\part x_2}{\part\xi^i}\frac{\part x_2}{\part\xi^j} + \cdots + \frac{\part x_n}{\part\xi^i}\frac{\part x_n}{\part\xi^j}$ ,

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

d s 2 = g j k dξ j dξ k

Např. délku křivky spočteme jako:

$s = \int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}} \mathrm{d}t},\,$

kde $t$ je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor $g i j$ bývá také vyjadřován jako

$g_{ij} = \mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j$ ,

kde $\mathbf{g}_i, \mathbf{g}_j$ představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát

$g^{ij} = \mathbf{g}^i\cdot\mathbf{g}^j = \frac{\part\xi^i}{\part x_k}\frac{\part\xi^j}{\part x_k}$

a pro smíšené složky

$g_j^i = \mathbf{g}^i\cdot\mathbf{g}_j = \frac{\part\xi^i}{\part x_k}\frac{\part x_k}{\part\xi^j} = \delta_j^i$ ,

kde $\delta_j^i$ je Kroneckerův symbol a $\mathbf{g}^i, \mathbf{g}_i$ jsou prvky sdružených bází.

[editovat] Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností

Velikost vektoru je tedy dána vztahem

$V=\sqrt{g_{ij}V^i V^j}.\,$

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem

$\cos \vartheta = \frac{g_{ij}V^i U^j}{\sqrt{g_{ij}V^i V^j}\sqrt{g_{ij}U^i U^j}},$

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

[editovat] Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

$g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$ ,

kde $\delta^i_k$ je kroneckerovo delta. Složky $g i j$ známe, kdežto složky $g i j$ jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu ${T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_n}$ zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem: