Tenseur métrique

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Tenseur métrique

[modifier] Définition

Le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur un espace vectoriel E :

g : E × E → R.

g est :

symétrique : $\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbf{E} \quad g(\mathbf{v},\mathbf{u}) = g(\mathbf{u},\mathbf{v})$
non dégénéré : $\left[\forall \mathbf{v} \in \mathbf{E}, g(\mathbf{u},\mathbf{v})=0 \right] \Rightarrow \mathbf{u}=0$

On reconnaît ainsi presque un produit scalaire. La seule propriété manquante est la positivité ( $\forall x \in \mathbf{E} \quad g(x,x) \ge 0$ ; si elle se produit g est automatiquement défini positif). Lorsque g n'est pas positif, on peut parler de pseudo-métrique (c'est le cas de l'Espace de Minkowski).

On peut faire apparaître les composants du tenseur métrique :

$g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = g(u^i \mathbf{e_i}, v^j \mathbf{e_j}) = u^i v^j g(\mathbf{e_i}, \mathbf{e_j}) = u^i v^j g_{ij}$

[modifier] Montée et descente d'indices

Le tenseur métrique sert à monter ou à descendre les indices des vecteurs / formes différentielles / tenseurs. Prenons le cas du vecteur $\mathbf {x} = x^\alpha \mathbf {e_\alpha}$ . Le produit $g_{\alpha \beta} x^\alpha\$ correspond à la forme linéaire qui à un vecteur $\mathbf{y}$ associe le réel $g(\mathbf {x}, \mathbf {y})$ . Il s'agit donc d'une forme linéaire (un élément de l'espace dual), dont on vérifie aisément que les coordonnées dans la base duale sont les coordonnées de $\mathbf{x}$ dans la base de l'espace vectoriel. Il vient donc : $g_{\alpha \beta} x^\alpha = x_{\beta}\$ . Le tenseur métrique a donc abaissé l'indice de $x^\alpha\$ en $x_\beta\$ .

[modifier] Distance et longueur

La notation g_ij est conventionnellement utilisée pour les composants du tenseur métrique. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est définie par :

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}dx^idx^j}$

L'angle entre deux vecteurs tangents $U$ et $V$ est défini par :

$\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}$

On l'écrit souvent avec la notation : $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \$ .

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel $g i j = δ i j$ (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer le jacobien des ces équations. Le tenseur métrique est le produit de ce jacobien par sa transposée :

G = J T J

[modifier] Exemple

Dans un espace euclidien à 2 dimensions, et en prenant un repère cartésien orthonormé, le tenseur métrique est :

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

et la longueur d'une courbe vaut :

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}$

[modifier] Exemples de métriques

Plan euclidien, Coordonnées polaires : $(x 1, x 2) = (r,θ)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}$

Espace euclidien, Coordonnées cylindriques : $(x 1, x 2, x 3) = (r,θ, z)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Espace euclidien, Coordonnées sphériques : $(x 1, x 2, x 3) = (r,θ,φ)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end{bmatrix}$

Espace de Minkowski espace-temps plat (relativité restreinte) : $(x 0, x 1, x 2, x 3) = (c t, x, y, z)$

$G = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \$

Métrique de Schwarzschild (solution particulière de la relativité générale, l'espace est ici courbé) : $(x 0, x 1, x 2, x 3) = (c t, r,θ,φ)$

$G = \begin{bmatrix} -1+\frac{2GM}{rc^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{1-\frac{2GM}{r c^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 sin^2 \theta \end{bmatrix} \$