Okruh (algebra)

Okruh (ozn. R, angl. ring) je v algebraická struktura, která má oproti grupě navíc další operaci.

Obsah

Množinu $\mathcal{M}$ s binárními operacemi + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) nazveme okruhem, platí-li pro každé $x, y, z \in \mathcal{M}$ následující axiomy:

$x + y \in \mathcal{M}$ , $x \cdot y \in \mathcal{M}$ (uzavřenost pro + a $\cdot$ )
$x + y = y + x$ (komutativita +)
$(x + y) + z = x + (y + z)$ (asociativita +)
$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ (asociativita $\cdot$ )
existuje $0$ tak, že $x + 0 = 0 + x = x$ (nulový prvek)
pro každé $y$ existuje $x$ tak, že $x + y = 0 = y + x$ , značíme $x = - y$ (opačný prvek)
existuje $1$ tak, že $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$ (jednotkový prvek)
$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x \cdot z$ (distributivita $\cdot$ )
$(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ (distributivita $\cdot$ )

Okruh s operací +, $(\mathcal{M}, +)$ , je Abelova grupa. Okruh s operací $\cdot$ , $(\mathcal{M}, \cdot)$ , je monoid.

Speciálním případem okruhu, který navíc přináší existenci inverzního prvku, je těleso. Další speciální případy okruhů jsou obory integrity.

Množina celých čísel $\mathbb{Z}$
Lineární zobrazení na $\mathbb{R}^n$ s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splňen předpoklad distributivity skládání.

Máme-li okruh (R,+,.) a S je neprázdná podmnožina R

je (S,+,.) podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí: $a - b \in \mathcal{S}$ , a zároveň $a \cdot b \in \mathcal{S}$
pokud je S konečná, pak (S,+,.) je podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí $a + b \in \mathcal{S}$ a zároveň $a \cdot b \in \mathcal{S}$