Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

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Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt arsinh, asinh oder arsh) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt arcosh oder arch) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

[Bearbeiten] Definition

Die Funktionen lassen sich durch die folgende Formeln ausdrücken:
Areasinus Hyperbolicus:

${\rm arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ .

Areakosinus Hyperbolicus:

${\rm arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion arsinh(x)

Graph der Funktion arcosh(x)

	Areasinus Hyperbolicus	Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$1 \le x < + \infty$
Wertebereich	$- \infty < f(x) < + \infty$	$0 \le f(x) < + \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	keine
Asymptote	$f(x)\to \pm \ln(2\|x\|)$ für $x \to \pm \infty$	$f(x)\to \ln(2x)$ für $x \to +\infty$
Nullstellen	$x = 0$	$x = 1$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei $x = 1$
Wendepunkte	$x = 0$	keine

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Areasinus Hyperbolicus:

Für |x| < 1 gilt:

${\rm arsinh}(x) = x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \dots$