Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus

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Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

y = a r t a n h (x)

y = a r c o t h (x)

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Geometrische Definitionen
2 Eigenschaften
3 Reihenentwicklung
4 Ableitung
5 Integral
6 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Areatangens Hyperbolicus	Areakotangens Hyperbolicus
${\rm artanh}(x):=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ .	${\rm arcoth}(x):=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\; ; \; \|x\| > 1$ .

[Bearbeiten] Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x, y) = (0,0)$ und der Hyperbel $x 2 - y 2 = 1$ überstreicht: Es seien $(x, -y) = \left(x, -\sqrt{x^2-1} \right)$ und $(x, y) = \left(x, +\sqrt{x^2-1} \right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungstrecke die Fläche $A={\rm artanh}\left(\frac{y}{x}\right)$ überstrichen.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion artanh(x)

Graph der Funktion arcoth(x)

	Areatangens Hyperbolicus	Areakotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- 1 < x < 1$	$-\infty < x < -1$ $1 < x < \infty$
Wertebereich	$-\infty < f(x) < \infty$	$-\infty < f(x) < \infty \; ; \; x \ne 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	ungerade Funktion: $artanh( - x) = - artanh(x)$	ungerade Funktion: $arcoth( - x) = - arcoth(x)$
Asymptote	$f(x)\to \infty$ für $x \to 0^+$	$f(x)\to 0$ für $x \to \pm \infty$
Nullstellen	$x = 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x = \pm 1$	$x = \pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = 0$	keine

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Die Taylorreihen:

Areatangens Hyperbolicus	Areakotangens Hyperbolicus
${\rm artanh}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)} = x+\frac13 x^3 + \frac15 x^5+\cdots$	${\rm arcoth}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) * x^{2k+1}}$ ${\rm arcoth}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\ldots$