Wendepunkt

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Wendepunkt

Ein Wendepunkt $W\left(x_W|f(x_W)\right)$ ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der Stelle $x W$ liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion $f$ an der Stelle $x W$ ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion $f$ ableiten.

Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).

Inhaltsverzeichnis

1 Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten
2 Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten
- 2.1 Beispiel
- 2.2 Besondere Fälle
3 Weblinks

[Bearbeiten] Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

Voraussetzungen:
1. $f$ ist bei $x W$ zweimal differenzierbar
2. $x W$ ist Wendestelle

$f''(x_W)=0 \,$

[Bearbeiten] Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Die Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $x W$ dreimal differenzierbar. Falls gilt $f''(x_W)=0 \wedge f'''(x_W) \neq 0$ , so ist $x W$ Wendestelle. Wenn $f''' > 0$ , dann ist $x W$ Rechts-Links-Wendestelle und wenn $f''' < 0$ , dann ist $x W$ Links-Rechts-Wendestelle.

Falls die erste Ableitung an der Stelle $x W$ existiert und die zweite Ableitungsfunktion $f''(x)$ an der Stelle $x W$ das Vorzeichen wechselt, so ist $x W$ ein Wendepunkt. Wenn $f'(x W)$ an $x W$ vom Positiven in das Negative wechselt, so ist $x W$ eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn $f'(x W)$ vom Negativen in das Positive wechselt, so ist $x W$ Rechts-Links-Wendestelle.

Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.

[Bearbeiten] Beispiel

${ f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x$

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:

${f''(x)} = {2 \cdot x - 4}$

Dann muss

${f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}$

gesetzt werden. Das Ergebnis ist x=2. Zugleich ist

${f'''(x)} = 2 \,$

und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.

Siehe auch: Kurvendiskussion

[Bearbeiten] Besondere Fälle

1. ${ f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|}$

Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert. Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.

2. ${ f(x) } = x \cdot|x|$