Charakteristisches Polynom

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Das charakteristische Polynom (Abk.: CP) einer linearen Abbildung, manchmal auch Säkulargleichung genannt, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dieses Polynom, das nur für Endomorphismen definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der linearen Abbildung.

Zur Berechnung des charakteristischen Polynoms benötigt man eine Darstellungsmatrix $A$ der linearen Abbildung. Mit der Einheitsmatrix $E$ lässt sich das charakteristische Polynom nach folgender Formel berechnen:

χ A (λ) = det(λ E - A)

Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom $n$ -ten Grades aus $K [λ]$ . Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise $CP A (λ)$ oder bei Bourbaki $Pc A (λ)$ .

Die auch gebräuchliche Definition $det(A - λ E)$ ist etwas ungeschickter, da dann der Leitkoeffizient bei ungeradem n zu -1 wird und das Polynom dann nicht mehr normiert ist. Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Schreibt man das charakteristische Polynom in der Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2}\dots + (-1)^n a_n$ ,

so ist stets $a 1$ die Spur und $a n$ die Determinante von A.

Speziell für 2 x 2-Matrizen hat das charakteristische Polynom also die besonders einfache Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda + \det(A)$ .

Für 3 x 3-Matrizen ergibt sich die Form:

$\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda^2 + \left( \det(A_1) + \det(A_2) + \det(A_3) \right)\cdot\lambda - \det(A)$ .

Hierbei sind $A 1, A 2, A 3$ die Hauptminoren von $A$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich, wobei die Umkehrung nicht richtig ist.
Die Matrix A und ihre Transponierte besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms:

$\chi_A\left(A\right) = 0$ .
Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
Ist $A$ eine $m\times n$ -Matrix und $B$ eine $n\times m$ -Matrix so gilt $\chi_{AB}(t)\, t^n=\chi_{BA}(t)\, t^m$ .

Beweis: Aus den Matrixgleichungen

$\begin{pmatrix} t I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} I_m & A \\ B & t I_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t I_m-AB & 0 \\ B & t I_n\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -B & I_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} I_m & A \\ B & t I_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} I_m & A \\ 0 & t I_n-AB \end{pmatrix}$

folgt $\det(t I_m-AB)\, t^n=\det\begin{pmatrix} I_m & A \\ B & t I_n\end{pmatrix}\, t^m=\det(t I_n-BA)\, t^m$ .

[Bearbeiten] Herleitung

Es sei $\lambda\in\mathbb C$ und $A$ eine $n \times n$ -Matrix. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

λ

ist ein Eigenwert von

A

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit

A x = λ x

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit

(λ E - A) x = 0

$\Leftrightarrow \lambda E - A$ ist nicht invertierbar.

$\Leftrightarrow \det (\lambda E - A) = 0$

$\Leftrightarrow$

λ

ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von

A

[Bearbeiten] Beispiele

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:

$\begin{matrix} \chi_A(\lambda) &=& \det(\lambda E - A) \\ &=& \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ -2 & \lambda-2 & -1 \\-4 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} \\ &=& \lambda^3 - 4\lambda^2 - \lambda + 4 \\ &=& (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 4) \end{matrix}$