Ähnlichkeit (Matrix)
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Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.
Zur Aussage „die 
-Matrizen A und B sind ähnlich über dem Körper K“, sind folgende Aussagen äquivalent:
- Es gibt eine invertierbare -Matrix P über K mit B = P − 1AP.
- Es gibt eine invertierbare -Matrix P über K mit PB = AP.
[Bearbeiten] Ähnlichkeitsabbildung
Eine Abbildung g, die einer Matrix A eine ihr ähnliche Matrix B zuweist, heißt Ähnlichkeitsabbildung. Es gilt dann (vgl. oben) g(A) = P − 1AP = B.
[Bearbeiten] Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit
Ist eine Matrix A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so sagt man, sie ist diagonalisierbar. Eine Matrix heißt trigonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.
[Bearbeiten] Eigenschaften ähnlicher Matrizen
Ähnliche Matrizen haben viele Eigenschaften gemeinsam. Sie besitzen:
- den gleichen Rang,
- die gleiche Determinante,
- die gleiche Spur,
- die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
- das gleiche charakteristische Polynom und
- das gleiche Minimalpolynom.
Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen äquivalent sind (sog. Lemma von Frobenius).
