Dicht (Mathematik)
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Der Begriff der dichten Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes ist ein mathematischer Fachbegriff und wird in seiner allgemeinen Form im mathematischen Fachgebiet Topologie definiert. Er wird in vielen Teildiziplinen der Mathematik, etwa der Analysis, der Funktionalanalysis und der Numerik angewandt, zum Beispiel bei der Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome.
Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen oder topologischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen 
eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen 
. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche oder Dezimalzahlen approximieren kann.
Ein Spezialfall dieses topologischen Begriffes „dicht“ ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge S einer streng totalgeordneten Menge (M, <) heißt dicht (in M), wenn es zu jedem x und y aus M mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Dieser Spezialfall ergibt sich durch die Ordnungstopologie auf M und wird dort näher erläutert. Der vorliegende Artikel behandelt den allgemeineren, topologischen Begriff.
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[Bearbeiten] Definition
(X,T) sei ein topologischer Raum. Eine Teilmenge M liegt dicht in X, genau dann wenn eine der folgenden gleichwertigen Aussagen zutrifft:
- Der Abschluss von M stimmt mit X überein.
- Es gibt keine abgeschlossene Teilmenge von X außer X selbst, die M enthält.
- Jede Umgebung in X enthält einen Punkt aus M.
[Bearbeiten] Beispiele (Topologie)
- Die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R.
- Die Menge der irrationalen Zahlen liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R.
- Die Menge der Polynome liegt dicht in der Menge der stetigen Funktionen.
- Die Menge der Testfunktionen liegt dicht in der Menge der Lebesgue-Integrierbaren Funktionen.
- Sei M eine Menge und | | eine Norm auf M. Bezeichnen wir mit X den Abschluss dieser Menge bezüglich der Norm | |. So liegt M dicht in X.
- Die Menge der natürlichen Zahlen N liegt nicht dicht in der Menge der rationalen Zahlen Q.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
- Thorsten Camps, Stefan Kühling und Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, 2006, ISBN 3-88538-115-X
