Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation

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Endliche einfache Gruppen, im folgenden kurz als einfache Gruppen bezeichnet, gelten in der Mathematik als die Bausteine der endlichen Gruppen.

Jede endliche Gruppe lässt sich in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren, jede endliche Gruppe lässt sich auch wieder in ihre einfachen Gruppen zerteilen. Es gibt jedoch keine „noch einfacheren Gruppen“ aus denen sich die einfachen Gruppen konstruieren lassen. Ein anschaulicher Vergleich: Einfache Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle, wie die Primzahlen für die natürlichen Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Klassifikation
3 Zum Beweis des Klassifikationssatzes
4 Familien einfacher Gruppen (Beispiele)
- 4.1 Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung
- 4.2 Alternierende Permutationsgruppen
5 Sporadische Gruppen (Beispiele)
6 Weblinks und Literatur
7 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Eine endliche Gruppe E mit mindestens zwei Elementen ist eine einfache Gruppe, wenn für jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus $h: E\to H$ eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:

Die Abbildung h ist injektiv, d. h. die Gruppen E und H sind gleich mächtig.
Die Abbildung ist trivial, h bildet alle Elemente von E auf das neutrale Element von H ab.

Um noch einmal den Vergleich mit den Primzahlen zu bemühen: eine einfache Gruppe lässt sich mittels Homomorphismus nur in gleichgroße Gruppen oder in triviale 1-er-Gruppen zerteilen.

Eine hierzu äquivalente Definition ist, dass die Gruppe E genau dann einfach ist, wenn sie nur ${e}$ und sich selbst als Normalteiler besitzt.

[Bearbeiten] Klassifikation

Seit 1982 sind die einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:

Fast alle dieser Gruppen lassen sich in einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen.
Es existieren 26 Ausnahmen - diese Gruppen werden als sporadische Gruppen bezeichnet.

[Bearbeiten] Zum Beweis des Klassifikationssatzes

Die Herleitung des Satzes war eines der umfangreichsten Verfahren der Mathematikgeschichte:

Der Beweis verteilt sich auf über 500 Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten.
Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.

Da Teile des Satzes mit Hilfe von Computern überprüft wurden, wird der Beweis jedoch nicht von allen Mathematikern anerkannt.

[Bearbeiten] Familien einfacher Gruppen (Beispiele)

[Bearbeiten] Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung

Die Zyklischen Gruppen Z_p mit p = 2, 3, 5, 7, 11,... bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Bei den einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und kommutativ zusammen, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ und jede einfache kommutative Gruppe ist zyklisch.

Bei den einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und ungerade Ordnung beinahe zusammen:

Jede einfache zyklische Gruppe - außer Z₂ - besitzt eine ungerade Anzahl von Elementen.
Jede einfache Gruppe mit ungerader Ordnung gehört zu den zyklischen Gruppen.

[Bearbeiten] Alternierende Permutationsgruppen

Die Alternierenden Permutationsgruppen Alt_n mit n größer 4 bilden eine Familie der einfachen Gruppen.

[Bearbeiten] Sporadische Gruppen (Beispiele)

Die ersten 5 der insgesamt 26 sporadischen Gruppen wurden von Émile Mathieu bereits in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 „jüngeren“ Gruppen wurden ab 1964 gefunden, meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen der Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum Teil recht groß sind, vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischen Entdeckung und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft mehrere Jahre.

Die so genannte Monstergruppe F1 mit rund 8 × 10⁵³ Elementen beispielsweise wurde bereits 1973 von Bernd Fischer und Robert Griess junior entdeckt, ihre endgültige Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

Von einigen Autoren wird auch die Gruppe ²F₄(2)' mit 17971200 = 2¹¹·3³·5²·13 Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergibt.

Eine Tabelle aller 26 sporadischen Gruppen findet sich im Artikel sporadische Gruppe.