Fehlerrechnung

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Die Fehlerrechnung verarbeitet die Fehler einer Messung bzw. eines Versuches. Das Messen einer Größe fällt letztlich immer fehlerhaft aus, d.h. Messungen sind mit Messfehlern behaftet. Die Differenz zwischen dem seitens des Standards realisierten Maß und dem wahren Wert der Messgröße ist der Messfehler. Allerdings ist der Standard selbst auch fehlerbehaftet. Messfehler sollten möglichst klein sein. Eine Messung wird jedoch kaum je perfekt sein, noch ließe es sich feststellen, wenn sie es wäre. Die Fehlerrechnung versucht, die Einflussnahme der Messfehler auf das Messergebnis quantitativ zu beschreiben. Dazu wird die Messunsicherheit bestimmt.

[Bearbeiten] Systematischer Fehler

Wenn der Vergleichsmaßstab nicht richtig kalibriert wurde oder bei der Messung nicht die wahre, zu messende Größe mit einem Vergleichsmaßstab verglichen wird, so spricht man von einem systematischen Fehler. Ist die Systematik bekannt, so kann man diesen Fehler durch eine Berechnung beseitigen.

Beispiel: Messung der Länge eines Tisches mit einem Lineal.

[Bearbeiten] Zufälliger Fehler

siehe Zufälliger Fehler

[Bearbeiten] Fehlerfortpflanzung

Bei der Fehlerfortpflanzung geht es um den Fehler eines Messergebnisses, das mittels einer Formel aus einer oder mehreren voneinander unabhängigen Messgrößen ermittelt wird. Im Allgemeinen hat man von verschiedenen Messgrößen jeweils nur einen einzelnen Messwert. Hier geht es darum, in welchem Umfang die Fehler der Messwerte zu einem Fehler des Ergebnisses führen. Zur begrifflichen Abgrenzung: Die oben angegebene Rechnung wird verwendet, wenn bei zufälligen Fehlern verschiedene Messwerte von einer Messgröße vorhanden sind.

[Bearbeiten] Eine fehlerbehaftete Größe

Der Einfluss einer fehlerbehafteten Messgröße x auf das Endergebnis y kann abgeschätzt werden (Taylor-Entwicklung), indem man das Endergebnis als Funktion von der fehlerbehafteten Größe betrachtet, den Differenzialquotienten bildet und mit dem absoluten Fehler der fehlerbehafteten Größe multipliziert:

$y = y(x)\quad \quad \Rightarrow \quad \Delta y \approx \left | \frac{d y}{d x} \right | \cdot \Delta x$

Fließt $x$ linear in das Endergebnis ein, so ist der dadurch verursachte relative Fehler von $y$ somit gleich dem relativen Fehler von $x$ :

$y = c \cdot x \quad \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta x}{x}$

Fließt $x$ in $m$ -ter Potenz (also z.B. quadratisch für $m = 2$ ) in das Endergebnis ein, so ist der dadurch verursachte relative Fehler von $y$ gleich dem relativen Fehler von $x$ multipliziert mit $| m |$ :

$y = c \cdot x^{m} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta y}{y} = |m| \cdot \frac{\Delta x}{x}$

[Bearbeiten] Mehrere fehlerbehaftete Größen

Fließen mehrere fehlerbehaftete Größen $x i$ in die Ermittlung von $y$ ein, so werden alle deren Fehler den Gesamtfehler der Messung bestimmen.

[Bearbeiten] Zufällige Fehler

Stammen die Fehler der Messgrößen $x i$ aus voneinander unabhängigen zufälligen Fehlern, so addiert man wie bei der Fehlerrechnung die einzelnen Fehlerbeiträge quadratisch (Gaußsche Fehlerfortpflanzung):

$y = y(x_1, x_2, \dots, x_n) \quad \Rightarrow \quad \Delta y^2 = \sum_{i=1}^n \left ( \frac{\partial y}{\partial x_i} \right )^2\cdot \Delta x_i^2 \quad \Rightarrow \quad \Delta y=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left ( \frac{\partial y}{\partial x_i} \right )^2\cdot \Delta x_i^2}$

[Bearbeiten] Systematische Fehler

Handelt es sich bei den ursprünglichen Fehlern um voneinander unabhängige systematische Fehler, so werden die einzelnen Fehlerbeiträge direkt aufsummiert. Im Allgemeinen wird es sich um so wenige Messgrößen handeln, dass eine statistische Betrachtung unangebracht ist. Der mathematische Ansatz ist wie oben, nur hat man jetzt nicht eine, sondern mehrere unabhängige Variable, die das Ergebnis beeinflussen.

$\Delta y = \sum_{i=1}^n \left | \frac{\partial y}{\partial x_i} \right | \cdot \Delta x_i$

Δ y

: Gesamtfehler nach Fehlerfortpflanzung

x i

: Messgröße

Δ x i

: Fehler der Messgröße

x i

y

: Formel zur Berechnung der Größe y aus den Messgrößen

x i

[Bearbeiten] Grenzen des Gauß-Fortpflanzungsverfahrens

Das Gauß-Verfahren ist nur anwendbar, wenn sich die Modellfunktion y = f( $x i$ ) bei Änderungen der Einflussgrößen $x i$ im Bereich ihrer Standardunsicherheiten u( $x i$ ) hinreichend linear verhält. Ist dies nicht der Fall, ist das Rechenverfahren erheblich aufwendiger.

DIN 1319 (Grundlagen der Messtechnik) und der „Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen“ geben Hinweise, wie eine unzulässige Nichtlinearität zu erkennen und zu umgehen ist.

[Bearbeiten] Ausgleichsrechnung

Unter einer Ausgleichungsrechnung versteht man die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichsrechnung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Daten näherungsweise durch eine glatte Kurve zu beschreiben.