Fundamentalsystem (Mathematik)

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Das Fundamentalsystem ist in der Mathematik ein Werkzeug zum Untersuchen und Lösen linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen, insbesondere von linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung, auf die sich jede Differentialgleichung höherer Ordnung und auch jedes System höherer Ordnung zurückführen lässt.

Ein wichtiger Anwendungsfall sind homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots+a_0(x)y(x)=0$ .

Dieses wird zu einem System erster Ordnung der Dimension n, indem der Spaltenvektor der ersten n-1 Ableitungen : $(y(x),y^\prime(x),\dots,y^{(n-1)}(x))^t$ gebildet wird. Dessen erste Ableitung lässt sich wieder linear in diesem Vektor ausdrücken, die Einträge der Transformationsmatrix ergeben sich aus den Koeffizienten der Differentialgleichung.

[Bearbeiten] Definition und Eigenschaften

Gegeben sei also ein lineares Differentialgleichungssystem

$y^\prime(x)=A(x)y(x)+b(x)$

erster Ordnung der Dimension n. Die Koeffizientenmatrix $A:[a,b]\to\R^{n\times n}$ ist eine stetige matrixwertige Funktion, die Inhomogenität $b:[a,b]\to\R^{n}$ eine stetige vektorwertige Funktion. Die Lösungen dieser Differentialgleichungssysteme werden im Raum $C^1([a,b],\R^n)$ der stetig differenzierbaren Funktionen $y:[a,b]\to\R^{n}$ gesucht.

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf ist jedes Anfangswertproblem $y (a): = y 0$ zu diesem Differentialgleichungssystem eindeutig lösbar. Die Differenz zweier Lösungen ist eine Lösung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems

$y^\prime(x)=A(x)y(x)$ .

Nach dem Superpositionsprinzip der linearen Algebra ist jede Linearkombination von Lösungen des homogenen Systems wieder eine Lösung des homogenen Systems. Jede Lösung des homogenen Systems ist weiter durch ihren Wert an der Stelle x=a eindeutig bestimmt. Somit ist der Lösungsraum des homogenen Systems ein Untervektorraum des Raums der vektorwertigen stetig differenzierbaren Funktionen. Dieser Untervektorraum ist isomorph zum Raum der Funktionswerte im Punkt x=a, dieser ist ein n-dimensionaler Spaltenvektorraum. Eine Basis des homogenen Lösungsraumes ist durch die Lösungen der n Anfangswertprobleme gegeben, deren Anfangswert im Punkt x=a einer der kanonischen Basisvektoren ist. Diese Basis wird Fundamtentalsystem des linearen Differentialgleichungssystems genannt.

Der Lösungsraum des inhomogenen Systems ist, in Analogie zum Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems, ein affiner Unterraum des umgebenden Punktraums der vektorwertigen stetig differenzierbaren Funktionen. Ein affiner Unterraum lässt sich als Summe eines Punkts und eines Untervektorraums angeben. Der Punkt heißt in diesem Kontext partikuläre Lösung, der Untervektorraum ergibt sich als Lösungsraum des homogenen Differentialgleichungssystems.

Das Fundamentalsystem lässt sich zu einer matrixwertigen Funktion Y zusammenfassen, die Spalten dieser Matrix sind die Basislösungen des homogenen Systems. Die Funktion Y ist ebenfalls Lösung eines homogenen Anfangswertproblems

$Y^\prime(x)=A(x)Y(x)$ ,

Y (a) = I n

deren Anfangswert in x=a die Einheitsmatrix der Dimension n ist. Jede andere Lösung des homogenen Systems ergibt sich als $y(x)=Y(x)\cdot c$ , wobei c ein Spaltenvektor der Dimension n ist. Nach Konstruktion gilt dann c=y(a).

Die Matrix $Y(x)\in\R^{n\times n}$ ist für jedes $x\in[a,b]$ invertierbar, wenn nur die Anfangsmatrix $B=Y(a)\in\R^{n\times n}$ invertierbar ist, d. h. eine Basis verkörpert. Dies folgt aus der Theorie der Wronski-Determinante.

[Bearbeiten] Anwendung: die Methode der Variation der Konstanten

Mit Hilfe eines Fundamentalsystems für ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem ist es möglich, Lösungen für jedes zugehörige inhomogene System zu finden. Dazu verwendet man entweder die Methode der Variation der Konstanten oder die Methode von Cauchy.

Die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems $y (a): = y 0$ , $y^\prime(x)=A(x)y(x)+r(x)$ existiert, sofern A und r stetig sind. Wir können aus der Lösung eine vektorwertige Hilfsfunktion $c (x): = Y - 1 (x) y (x)$ konstruieren. Diese erfüllt, nach der Produktregel der Ableitung