H-Raum
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
| H-Raum |
|
berührt die Spezialgebiete |
|
ist Beispiel von |
|
Beispiele sind |
|
In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung 
mit einer Einheit 
in dem Sinne, dass die Endomorphismen
und 
homotop zur identischen Abbildung idX auf X relativ zu e sind.
Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ e, manchmal sogar relativ X gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn X CW-Komplex ist.
Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Cohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.
Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei X ein H-Raum mit Einheit e, und seien f und g Schleifen mit Basispunkt e. Dann können wir eine Abbildung F: [0,1]×[0,1] → X durch F(a,b) = f(a)g(b) erklären. Nun ist F(-,0) = F(-,1) = fe homotop zu f und F(0, -) = F(1, -) = eg zu g. Dann entspricht F einer Homotopie von der Verkettung f·g von Schleifen zu g·f.
[Bearbeiten] Beispiele
J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur S0, S1, S3 und S7 H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf 
, 
, 
(Quaternionen) und 
(Oktonionen) induziert.
