Länge (Algebra)
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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.
[Bearbeiten] Definition
Es sei M ein Modul über einem Ring A. Die Länge von M ist das Supremum der Längen n von Ketten von Untermoduln der Form
Die Länge wird oft mit 
oder 
bezeichnet.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Nur der Nullmodul hat Länge 0.
- Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
- Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
- Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist
-
- exakt, so ist
; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
- Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.
[Bearbeiten] Beispiele
- Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
- Der
-Modul hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl n ist
-
- eine Kette von Untermoduln der Länge n + 1.
