Noethersch

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In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.

[Bearbeiten] Noethersche Moduln

Es sei R ein unitärer Ring. Ein R-Linksmodul M heißt noethersch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Jeder Untermodul ist endlich erzeugt.
(Aufsteigende Kettenbedingung) Jede aufsteigende Kette

$N_1 \subseteq N_2 \subseteq N_3 \subseteq\ldots$

von Untermoduln wird stationär, d.h. es gibt einen Index n, so dass

$N_n = N_{n+1} = N_{n+2} = \ldots$

(Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein maximales Element bezüglich Inklusion.

[Bearbeiten] Noethersche Ringe

Ein Ring R heißt

linksnoethersch, wenn er als R-Linksmodul noethersch ist;
rechtsnoethersch, wenn er als R-Rechtsmodul noethersch ist;
noethersch, wenn er links- und rechtsnoethersch ist.

Bei kommutativen Ringen sind alle drei Begriffe identisch und äquivalent dazu, dass alle Ideale in R endlich erzeugt sind.

[Bearbeiten] Eigenschaften und Beispiele

Ist R linksnoethersch, das Jacobson-Radikal $J=\operatorname{Rad}(R)$ nilpotent, und $R / J$ halbeinfach, dann ist R auch linksartinsch.
Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen sind noethersch. Die endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring bilden eine abelsche Kategorie; die Voraussetzung, dass der Ring noethersch ist, ist dabei essentiell.
Quotienten und Lokalisierungen noetherscher Ringe sind noethersch.
Ist R ein noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring $R [X]$ noethersch (Hilbertscher Basissatz). Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über einem Körper noethersch.
Hauptidealringe oder allgemeiner Dedekindringe sind noethersch.
Der Polynomring $\Bbb C[X_1, X_2, ...]$ in unendlich vielen Unbestimmten ist nicht noethersch, da das Ideal, das von allen Unbestimmten erzeugt wird, nicht endlich erzeugt ist.
Der Matrizenring $\begin{pmatrix} \Z & \mathbb{Q} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.