Loxodrome

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Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Ein Loxodrome

Die Loxodrome (loxos <griech.> „schief“, dromos <griech.> „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die immer unter dem gleichen Winkel die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.

Bei Schnittwinkeln größer 0° und kleiner 90° ist die Loxodrome nicht geschlossen; sie windet sich unendlich oft spiralförmig um die Erde herum und nähert sich dabei den Polen an, ohne sie zu erreichen. Beim Schnittwinkel 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit Großkreis, sie verläuft in Nord-Süd-Richtung, geht also durch die Pole. Beim Schnittwinkel 90° ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, bildet also ein Breitenparallel, und verläuft in Ost-West-Richtung, stellt aber im Allgemeinen keinen Großkreis dar. Das ist nur im Spezialfall des Äquators der Fall, wenn also auf der Loxodrome die geographische Breite konstant 0° beträgt.

Früher wurde in der See- und Luftfahrt oft mit dem Kompass navigiert. Es war günstig, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Kompassrichtung folgen musste. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der Orthodrome (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen Kurswinkel berechnen.

In der Kartografie sind auf Karten in der Mercator-Projektion die Loxodrome als gerade Linien abgebildet. Deshalb eignen sich diese besonders für die Navigation in der Schifffahrt.

Im Flugverkehr hingegen werden Lambertsche Schnittkegelprojektionen verwendet.

[Bearbeiten] Berechnung

Die Formel für den Richtungswinkel $\, \eta$ der Loxodrome leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodrome als Geraden abzubilden.

Die Länge wird mit $\, \lambda$ , die Breite mit $\, \phi$ bezeichnet.

In Richtung Westen ist $\, \lambda$ negativ, Richtung Osten positiv; $\, \phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Der konstante Winkel

η

der Loxodrome von A nach B

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten $\, (\phi,\lambda)$ auf die ebenen Koordintaen $\,(X,Y)$ ab, wobei:

$\, X = M_X(\lambda) = \lambda$

$\, Y = M_Y(\phi) = \ln \tan (\frac {\phi} {2} + \frac {\pi} {4})$

Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte $\, A = (\phi_A, \lambda_A)$ und $\, B = (\phi_B, \lambda_B)$ entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck mit $\overline{(X_A,Y_A),(X_B,Y_B)}$ als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei $\,(X_B,Y_A)$ . Für den Winkel $\, \varphi$ bei $\, (X_A,Y_A)$ ergibt sich:

$\tan \varphi = \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = \frac{M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)}{\lambda_B-\lambda_A}$

Unter Verwendung der zweistelligen Funktion $\, \varphi(y,x)$ die zu den kartesischen Koordinaten $\, x$ und $\, y$ den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert und als Atan2-Funktion in den meisten Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:

$\varphi = \varphi\,(M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A),\; \lambda_B-\lambda_A) = \varphi\,\left(\ln \frac{\tan (\frac {\phi_B} {2} + \frac {\pi} {4})}{\tan (\frac {\phi_A} {2} + \frac {\pi} {4})},\; \lambda_B-\lambda_A\right)$