Mantelfläche

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Als Mantelfläche bezeichnet man die Oberfläche eines Volumens, das durch Rotation eines Graphen einer Funktion um eine Koordinatenachse entsteht. "Boden" (Grundfläche) und "Deckel" (Deckfläche) werden, falls vorhanden, in der Regel nicht zur Mantelfläche gezählt.

In der Mathematik kann die Mantelfläche eines Körpers unter anderem mit Hilfe geometrischer Formeln oder der Integralrechnung bestimmt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Mantelfläche des Kreiszylinders
2 Mantelfläche des Kegelstumpfs
- 2.1 Herleitung
3 Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Mantelfläche des Kreiszylinders

Gerader Kreiszylinders mit abgewickelter Mantelfläche

Die punktierte Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kreiszylinders. Dieser könnte etwa durch Rotation einer konstanten Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.
Interessant ist, dass die Oberfläche einer Kugel und die Mantelfläche eines gleichgroßen Zylinders die gleiche Größe haben. Das heißt, dass der Durchmesser ( $2r=d\$ ) der Kugel genauso groß sein muss wie die Höhe $h\$ des Zylinders.

[Bearbeiten] Mantelfläche des Kegelstumpfs

Mantelfläche m eines Kegelstumfs

Die punktierte Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kegelstumpfs, betrachtet in der Draufsicht. Dieser könnte etwa durch Rotation einer Geraden um eine Koordinatenachse entstehen.

[Bearbeiten] Herleitung

Es sei $M_\mathrm{G}\$ die Mantelfäche vom ganzen Kegel,

$M_\mathrm{H}\$ die Mantelfläche vom kleinen Kegel und

$M_\mathrm{KS}\$ die Mantelfäche vom Kegelstumpf, dann errechnet sich die Mantelfäche $M_\mathrm{KS}\$ des Kegelstumpfes durch

$M_\mathrm{KS}=M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H}\$

Nun bezeichnet man zusätzlich zu den in der Skizze bereits festgelegten Variablen die Verlängerung der Höhe $h\$ zur Spitze $s\$ mit $x\$ und die Verlängerung der Seitenlänge $m\$ zur Spitze des Kegels mit $s_\mathrm{x}\$ . Mit Hilfe dieser Notation verifiziere man anschließend

$(1)~~M_\mathrm{KS}=M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H}=\pi r_\mathrm{1}(m+s_\mathrm{x})-\pi r_\mathrm{2}s_\mathrm{x}=\pi (r_\mathrm{1}m+r_\mathrm{1}s_\mathrm{x}-r_\mathrm{2}s_\mathrm{x})\$

(Hinweis zu den Formeln für $M_\mathrm{G}\$ und $M_\mathrm{H}\$ : Für die Fläche eines Kreissegments gilt $A=\pi r^2{\alpha \over 360^\circ}\$ und für den Segmentbogen $b=2\pi r{\alpha \over 360^\circ}=\pi r{\alpha \over 180^\circ}\$ woraus $A={1 \over 2}br\$ folgt. Angepasst an die gegebenen Variablen des Kegels ergeben sich die Formeln für $M_\mathrm{G}\$ und $M_\mathrm{H}\$ .

Mit Hilfe der Strahlensätze leitet man folgenden Zusammenhang innerhalb des Kegels für $s_\mathrm{x}\$ her: ${(m+s_\mathrm{x}) \over s_\mathrm{x}}={r_\mathrm{1} \over r_\mathrm{2}}\Leftrightarrow r_\mathrm{2}(m+s_\mathrm{x})=r_\mathrm{1}s_\mathrm{x}\Rightarrow s_\mathrm{x}={r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}\$ .

Durch Einsetzen von $s_\mathrm{x}\$ in $(1)\$ erhält man schließlich

$\begin{matrix}M_\mathrm{KS}&=& \pi (r_\mathrm{1}m+r_\mathrm{1}({r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}})-r_\mathrm{2}({r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}})) \\ &=& \pi (r_\mathrm{1}m+{r_\mathrm{1}r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}-{{r_\mathrm{2}}^2m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}) \\ &=& \pi m(r_\mathrm{1}+{r_\mathrm{2}(r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}) \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}) \\ &=& \pi (r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2})m \end{matrix}\$

[Bearbeiten] Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Eine Funktion f(x) rotiere um die x-Achse. Nun sei die Mantelfläche dieser Funktion im Bereich von $x 1 = a$ bis $x 2 = b$ gesucht, also im Intervall (a,b).

Folgende Formel gilt bei Rotation um die x-Achse:
$A_{Mantel} = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx$

Für die Rotation um die y-Achse gilt demnach:
$A_{Mantel} = 2 \pi \cdot \int_a^b x \sqrt{1+(x')^2} dy$ mit x=f(y), d.h. nach x aufgelöst und x'=dx/dy.