Regler

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Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises, bestehend aus der Regelstrecke 'G', dem Regler 'K' und einer negativen Rückkopplung der Regelgröße 'y' (auch: Istwert) auf den Regler. Die Regeldifferenz 'e' wird aus der Differenz zwischen der Führungsgröße 'w' (auch: Sollwert) und der Regelgröße errechnet. Der vom Regler ermittelte Stellwert 'u' wirkt auf die Strecke und damit wiederum auf die Regelgröße ein. Die Störgröße d bewirkt eine Veränderung der Regelgröße, die nicht gewünscht ist und kompensiert werden muss.

Regler vergleichen kontinuierlich einen von Sensoren durch Messen ermittelten Istwert mit einem Sollwert und ermitteln aus dem Unterschied der beiden Größen (der sogenannten Regeldifferenz bzw. Regelabweichung) eine Stellgröße, welche die Strecke beeinflusst, so dass sich Istwert und Sollwert möglichst nah annähern. Dabei ist der Regler immer in Kombination mit der Strecke zu sehen; ein instabiler Regler kann gegebenenfalls eine Strecke stabilisieren (siehe z.B. das I-Glied). Regler werden in der Regelungstechnik zur Realisierung von Regelkreisen eingesetzt.

Hier wird auf dynamische Regler-Strukturen und deren gerätetechnische Realisierung eingegangen. Der Entwurf (Parametrierung) des Reglers ist Gegenstand eigener Artikel, auf die an geeigneter Stelle verwiesen wird.

[Bearbeiten] Einführung und Übersicht

Werden Istwert und Sollwert nicht identisch, so spricht man von einer bleibenden Regelabweichung, die vielfach durch einen Vorfilter ausgeglichen werden kann. Ein reiner P-Regler ohne ein I-Glied in der Strecke hat zum Beispiel immer eine bleibende Regelabweichung. Vielfach wird ein Regler so implementiert, dass der Sollwert nicht sofort stationär erreicht wird (stabiler Zustand), sondern dass es zum Überschwingen kommt, was den Vorteil einer schnelleren Ausregelung hat.

Durch das Prinzip der Rückführung führen Änderungen des Sollwerts (z.B. durch Störungen) sofort zu einer Reaktion des Reglers, bis die Strecke wieder einen stationären Zustand erreicht.

Es gibt grundsätzlich zwei Klassen von Reglern: Stetige und unstetige Regler.

Beispiele für stetige Regler sind die Standard P, PI und PID Regler die vor allem durch eine Analyse im Frequenzbereich oder durch Versuche beziehungsweise den entsprechenden Faustformeln hierzu dimensioniert werden. Bei sehr gut bekannten LZI-Systeme können auch komplexere Verfahren für die Regelung, zum Beispiel die Zustandsrückführung, angewandt werden. Dabei hat der Regler jedoch auch einen wesentlich komplexeren Aufbau.

Beispiele für nichtstetige Regler sind z.B. Zweipunktregler, Dreipunktregler und die Fuzzy-Regler, die nach der Fuzzy-Logik arbeiten.

Mit dem Problem, für jede Strecke einen optimalen Regler zu finden, beschäftigt sich die optimale Regelung.

Als Fallbeispiel aus der frühen Regelungstechnik ist der mechanische Programmregler zu nennen.

[Bearbeiten] Lineare Standard-Regler

Stetige Regler bestehen oft aus folgenden Anteilen:

Aus diesen lassen sich die am häufigsten eingesetzten und auch oft ausreichenden Regler ableiten:

P-Regler
PI-Regler
PID-Regler
PD-Regler

Zusätzlich werden noch Regler höherer Ordnung eingesetzt. Die Theorie hinter diesen ist jedoch wesentlich komplexer, sodass sie hier nur eine kurze Erwähnung finden.

[Bearbeiten] P-Regler (P-Anteil)

Sprungantwort P-Anteil mit K=2

Der P-Regler besteht ausschließlich aus einem P-Anteil und hat damit dessen Eigenschaften. Der P-Anteil multipliziert im Prinzip den Eingangswert mit einem Faktor (K_p):

$u(t) = K_p\cdot e(t)$ .

Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Sprungantwort eines P-Reglers. Der P-Regler hat eine Verstärkung von K_p=2, sodass sich ein Ergebnis von 2 ergibt (1·2=2). Die Sprungantwort des P-Reglers ist linear zum Eingangssprung.

Der P-Regler

besitzt eine bleibende Regeldifferenz, falls die Regelstrecke keinen I-Anteil hat, bedingt durch seine reine proportionale Reaktion
reagiert unmittelbar auf eine Veränderung der Regelgröße
neigt zu Schwingungen bei großen K_p (Proportionalverstärkungsfaktor)

[Bearbeiten] I-Regler (I-Anteil)

Sprungantwort I-Anteil

Ein I-Regler bestimmt den Stellwert durch zeitliche Integration der Regelabweichung mit Gewichtung durch die Nachstellzeit $T N$ :

$u(t) = \frac{1}{T_N} \int_0^t e(\tau)d\tau.$

Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Sprungsantwort eines I-Anteils. Der I-Anteil hat eine Nachstellzeit von T_N=1. Die Sprungantwort des I-Anteils ist ein linearer Anstieg. Das heißt, bei einer konstanten Regelabweichung vergrößert sich das Integral und somit verstärkt sich dieser Anteil.

Zu beachten ist, dass entweder in der Strecke oder dem Regler ein I-Glied vorhanden sein muss, um eine stationäre Genauigkeit zu ermöglichen. Da die meisten Strecken nicht umgehend reagieren, kann es außerdem zum Wind-Up Effekt kommen. Dieser kann zum Beispiel durch eine Begrenzung des Integrals verhindert werden.

[Bearbeiten] D-Regler (D-Anteil)

Sprungantwort D-Anteil

Der D-Regler bestimmt den Stellwert aus der zeitlichen Ableitung der Regelabweichung:

$u(t) = T_V\frac{d}{dt}e(t)$ .

Der D-Anteil wird also aus der Änderung der Regelabweichung berechnet. Dabei ist anzumerken, dass eine korrekte Differentiation in der Realität eine nicht kausale Handlung darstellt. Das heißt, dass dafür der kommende Wert voraus geahnt werden muss, deshalb wird in der Praxis nur eine Näherung angewandt, die den jetzigen Wert $e (t)$ mit dem vorigen Wert $e (t -)$ vergleicht. Diese stellt jedoch streng genommen die linksseitige Differentiation zum Zeitpunkt $t -$ dar. Physikalisch realisierbar ist z.B. ein DT1-Glied, das zusätzlich verzögerndes Verhalten besitzt.

Das Verhalten lässt sich wie folgt beschreiben: Je schneller sich die Regelabweichung verändert, desto größer ist der Stellwert. Bleibt eine konstante Regelabweichung bestehen, so wird der D-Regler diese nicht ausgleichen, da deren Steigung in diesem Fall null beträgt. Er reagiert somit nur auf hohe Frequenzen und nicht auf niedrige. Daher wird auch hochfrequentes Rauschen des Messwertes vom D-Regler verstärkt.

Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Sprungantwort eines D-Reglers. Der D-Regler hat eine Differenzierzeit von T_d=1. Die Sprungantwort des D-Reglers ist ein theoretisch unendlich großer Impuls, daher werden in dieser Abbildung und in den folgenden Abbildungen (mit D-Anteil) jeweils DT-Glieder abgebildet.

Der D-Anteil

gibt nur eine Stellgröße ab, so lange sich die Regelabweichung ändert,
reagiert nicht auf eine konstante Regeldifferenz,
verstärkt Messrauschen.

Das Ausgangssignal des D-Anteil wirkt einer Änderung des Ist-Wertes entgegen und dämpft so eine Schwingneigung der Regelgröße. Deshalb kann ( im Vergleich mit einem Regler ohne D-Anteil) der P-Anteil erhöht werden und so insgesamt der Regelvorgang beschleunigt werden.

[Bearbeiten] PI-Regler

Der PI-Regler bestimmt den Stellwert $u (t)$ aus der Regelabweichung $e (t)$ wie folgt:

$u(t) = K_p (e(t) + \frac{1}{T_N} \int_0^t e(\tau) d\tau ).$

Für den PI-Regler gilt bei den meisten Strecken:

Der P-Reglerteil versucht eine auftretende Regeldifferenz schnell abzufangen.
Die I-Reglerkomponente beseitigt anschließend die restliche Regeldifferenz.

Der PI-Regler arbeitet bei entsprechender Strecke und Einstellung vielfach schnell und präzise und wird daher häufig verwendet.

[Bearbeiten] PD-Regler

Der PD-Regler bestimmt den Stellwert $u (t)$ aus der Regelabweichung $e (t)$ wie folgt:

$u(t) = K_p \left(T_V \frac{d}{dt} e(t) + e(t) \right)$

Der PD-Regler

ist schneller als ein P-Regler oder ein PI-Regler
hat keinen I-Anteil, daher ist statische Sollwertfolge nur dann gegeben, wenn die Strecke einen I-Anteil enthält

Zur physikalischen Realisierung (der PD-Regler ist akausal) wird ein verzögerndes Element wie folgt hinzugefügt, man erhält einen $P D T 1$ -Regler:

$T \frac{d}{dt} u(t) + u(t) = K_p \left( (T_V+T) \frac{d}{dt} e(t) + e(t) \right), \quad T_V > T$ .

[Bearbeiten] PID-Regler

Grundsätzliches Strukturbild eines PID-Reglers

Ein PID-Regler ist durch die Gleichung

$u(t) = K_p \left(e(t) + \frac{1}{T_N} \int e(t) dt + T_V \frac{d}{dt}e(t)\right)$

beschrieben.

Er hat folgende Eigenschaften:

Flexibel an vielfältigen Regelstrecken einsetzbar
schnelles Vorhalten, gezieltes Anfahren in die Nähe des Sollwerts und abschließendes präzises Ausregeln der Regeldifferenz.

Der PID-Regler wird in der Praxis sehr häufig eingesetzt. Dennoch gibt es Regelstrecken, für die er ungeeignet ist, wenn z.B. strenge Güteforderungen mit dieser einfachen Reglerstruktur nicht erreichbar sind. Der D-Anteil sollte vorsichtig eingesetzt werden, weil er hochfrequente Störsignale verstärkt.

Eingesetzt werden auch folgende Schreibweisen und Erweiterungen:

1. PID-Regler in multiplikativer Form

$u(t) = K_p \left(\frac{T_N + T_V}{T_N} e(t) + \frac{1}{T_N} \int_0^t e(\tau) d\tau + T_V \frac{d}{dt}e(t)\right)$

2. $P I D T 1$ -Regler in additiver Form

$T_1\frac{d}{dt} u(t) + u(t) = K_p \left(\frac{T_1 + T_N}{T_N}e(t) + \frac{1}{T_N} \int_0^t e(\tau) d\tau + (T_1+T_V) \frac{d}{dt}e(t)\right)$

3. $P I D T 1$ -Regler in multiplikativer Form

$T_1\frac{d}{dt}u(t)+u(t) = K_p \left(\frac{T_V + T_N}{T_N}e(t) + \frac{1}{T_N} \int_0^t e(\tau) d\tau + T_V \frac{d}{dt}e(t)\right)$

[Bearbeiten] Regler höherer Ordnung

Bei komplexen Systemen kann es notwendig werden, Regler höherer Ordnung einzusetzen.

[Bearbeiten] Entwurf und Realisierung

Für den Entwurf von P-, PI-, PD- und PID-Reglern können das Wurzelortskurvenverfahren und das Frequenzkennlinienverfahren eingesetzt werden. Hierzu muss ein Modell der Regelstrecke als LZI-System vorliegen. Ist dies nicht der Fall, können Faustformelverfahren herangezogen werden.

Heute werden zur Realisierung zumeist digitale Regler angewandt, sodass die kontinuierlichen Regler in zeitdiskrete Regler umzurechnen sind.

[Bearbeiten] Statische lineare Rückführungen

[Bearbeiten] Zustandsrückführung

Zustandsrückführung mit Vorfilter $\mathbf{V}$ .

Die Zustandsrückführung ist eine Mehrgrößenregelung, bei welcher der Zustandsvektor $\mathbf{x}(t)$ mittels Matrixverstärkung $\mathbf{K}$ auf den Eingang zurückgeführt wird:

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\cdot\mathbf{x}(t) + \mathbf{V}\cdot \mathbf{w}(t),$

wobei $\mathbf{w}(t)$ den Sollwert bezeichnet, der über ein Vorfilter $\mathbf{V}$ aufgeschaltet wird, um eine möglicherweise bleibende Regelabweichung zu kompensieren (siehe Bild).

Ist die Regelstrecke ein lineares System, so ergibt sich das folgende Zustandsraummodell des geschlossenen Regelkreises zu

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{(A-BK)x}(t) + \mathbf{BVw}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{(C-DK)x}(t) + \mathbf{DVw}(t).$

Für Zustandsrückführungen gibt es im wesentlichen zwei Entwurfsverfahren. Beim Reglerentwurf zur Polzuweisung (engl. pole placement) werden für ein Mehrgrößensystem gewünschte Eigenwerte des Regelkreises durch die Rückführung festgelegt. Die Güteforderungen aus dem Zeitbereich werden in die Lage der Eigenwerte übersetzt. Die Pole können genau dann beliebig vorgegeben werden, wenn die zu regelnde Strecke vollständig steuerbar ist. Andernfalls gibt es einzelne feste Eigenwerte, die nicht verändert werden können.

Auch der Entwurf eines LQ-Reglers, ein Verfahren zur optimalen Regelung, basiert auf der Struktur der Zustandsrückführung. Jedes Entwurfsverfahren muss auf eine stabile Matrix $\mathbf{A-BK}$ führen, damit der Regelkreis stabil ist.

Die Zustandsrückführung erfordert die Kenntnis des Zustandes zu jedem Zeitpunkt. Ist die Regelstrecke beobachtbar, so kann der Zustandsvektor durch Einsatz eines Beobachters aus den Ausgangsgrößen rekonstruiert werden.

[Bearbeiten] Ausgangsrückführung

Ausgangsrückführung mit Vorfilter $\mathbf{V}$

Bei nicht beobachtbaren Strecken stellt der Entwurf einer Ausgangsrückführung

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\cdot\mathbf{y}(t) + \mathbf{V}\cdot \mathbf{w}(t),$

eine Alternative dar. Unter scharfen Voraussetzungen kann eine Zustandsrückführung durch eine Ausgangsrückführung ersetzt werden, ohne die Lage der erreichten Eigenwerte zu verändern. Zumeist muss man jedoch Verschiebungen der gewünschten Pole durch die Ersetzung in Kauf nehmen.

Ist die Regelstrecke ein lineares System, so lautet das Zustandsraummodell des geschlossenen Regelkreises mit Ausgangsrückführung

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{(A-BKC)x}(t) + \mathbf{BVw}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{(C-DKC)x}(t) + \mathbf{DVw}(t).$

Für einen stabilen Regelkreis muss die Matrix $\mathbf{A-BKC}$ eine stabile Matrix sein.

[Bearbeiten] Nichtlineare Regler

Nichtlineare Regler sind Regler, bei denen die Abbildung der Regeldifferenz auf den Stellwert nichtlinear ist. Hierzu gibt es verschiedene Verfahren.

[Bearbeiten] Adaptive Regler

Hauptartikel: Adaptive Regelung

Adaptive Regler sind Regler, die ihre Parameter automatisch an die Regelstrecke anpassen. Sie sind somit zur Regelung zeitvarianter Regelstrecken geeignet.

[Bearbeiten] Fuzzy-Regler

Hauptartikel: Fuzzy-Regler

Fuzzy-Regler sind nicht stetige Regler die nach der Fuzzy-Logik arbeiten. Sie eignen sich besonders gut für Anwendungen, bei denen ein mathematisches Modell der Regelstrecke nicht vorhanden ist, dafür aber umfangreiches heuristisches Wissen über die manuelle Regelung bekannt ist.

[Bearbeiten] Nichtstetige Regler

Nichtstetige Regler (auch: Mehrpunktregler) sind Regler, bei denen die Abbildung der Regeldifferenz auf den Stellwert Sprünge enthält. Typischerweise ist die Kennlinie stückweise konstant. Gebräuchlich sind Zwei- und Dreipunktregler.

[Bearbeiten] Anforderungen an den Regler

In der Regelungstechnik werden die Regler meist so dimensioniert, dass die Strecke mit dem Regler entweder ein gutes Führungs- oder Störverhalten hat.

Wobei das gut jeweils zu definieren ist, also die maximale Regelabweichung darf bei einer Störung einen bestimmten Wert nicht überschreiten. Zusätzlich kann es weitere gewünschte Eigenschaften geben wie z.B. die Stellgröße darf einen bestimmten Wert nicht überschreiten oder die eingesetzte Energie zur Regelabweichungsbeseitigung soll minimal sein. Für diese komplexen Aufgabenstellungen sind vielfach Normen und Gewichtungsfunktionen äußerst hilfreich.

[Bearbeiten] Führungsverhalten

Das Führungsverhalten gibt an wie der Regler auf eine Sollwertänderung reagieren soll. Allgemein lässt sich zu meist sagen, wenn der Sollwert verändert wird, soll der Regler möglichst schnell und präzise den Istwert auf den Sollwert bringen.

[Bearbeiten] Störverhalten

Das Störverhalten gibt an, wie der Regler auf eine Veränderung der Störgröße reagieren soll. Allgemein lässt sich zumeist sagen, wenn eine Störung auftritt, die den Istwert verändert, dann soll der Regler möglichst schnell und präzise diese Störung ausregeln und den Ausgangswert auf den Sollwert bringen.

Der Idealfall wäre, wenn

Regelgröße = Führungsgröße
die Störungen sofort kompensiert werden (keine Auswirkung auf die Regelgröße)

[Bearbeiten] Normen

Für bestimmte Aufgabenstellungen sind Normen (1-Norm (Abweichung), 2-Norm(Energie), unendlich-Norm (maximale Größe)) oder die mittlere Leistung pow äußerst hilfreich, da sich mit diesen Normen genaue Vorgaben machen lassen und das Ergebnis sich gut überprüfen lässt. Wird Beispielsweise eine Norm x für eine Aufgabenstellung minimiert, so spricht man von einer x-Norm optimalen Regelung.

[Bearbeiten] Gewichtungsfunktionen

Weiterhin kann es für komplexe Aufgabenstellungen hilfreich sein, Gewichtungsfunktionen einzuführen, um zum Beispiel die Stellgröße für hohe Frequenzen möglichst kleine Werte annehmen zu lassen und die Regelabweichung für tiefe Frequenzen klein zu halten. Das bedeutet, dass eine stationäre Genauigkeit mit möglichst kleinen Stellwerten gewährleistet wird. Ohne diese Gewichtungsfunktionen hätte es nur eine Vorgabe für alle Frequenzen geben können.

[Bearbeiten] Realisierung von Reglern

[Bearbeiten] Analogregler und Digitalregler

Analogrechner zur Darstellung von gewöhnlichen Differentialgleichungen
Digitalregler mit Signalquantisierung und fester Abtastzeit

[Bearbeiten] Kompaktregler

Heute zumeist digitale Kleinrechner mit eigenen, genormten elektrischen Ein- und Ausgängen zur Montage auf Hut-Schienen

[Bearbeiten] Softregler in Prozessleitsystemen

Der Regler wird als Software-Programm in einem hinreichend leistungsfähigen Prozessleitsystem (PLS) realisiert, zum Beispiel Simatic PCS-7. Die Ausführung des Codes erfolgt in deterministischer Echtzeit. Der Regler benötigt keine direkte Verdrahtung zu Sensoren und Aktoren, sondern kommuniziert mit beliebigen an das PLS angeschlossenen Aktoren und Sensoren, z. B. über ein Feldbussystem wie Profibus, Interbus S, Foundation Fieldbus, Aktor-Sensor-Interface (ASI). Dieses Vorgehen vermindert den Verkabelungsaufwand und erleichtert eine örtliche Trennung von Prozess und Regler.

[Bearbeiten] Universalregler und Branchenregler

[Bearbeiten] Literatur

O. Föllinger, Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung, Hüthig Verlag, 1994, ISBN 3-7785-2336-8
J. Lunze, Regelungstechnik 1 (Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen), Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-5402-8326-9
H. Unbehauen, Regelungstechnik 1, Vieweg Verlag, 2007, ISBN 3-5282-1332-9

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Siehe jedoch

Steuerung

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../r/e/g/Regler.html“

Kategorie: Steuerungs- und Regelungstechnik