Residuensatz

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Der Residuensatz ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Er stellt eine Verallgemeinerung des cauchyschen Integralsatzes und der cauchyschen Integralformel dar. Seine Bedeutung liegt nicht nur in den weitreichenden Folgen innerhalb der Funktionentheorie, sondern auch in der praktischen Berechnung von reellen Integralen.

[Bearbeiten] Residuensatz

Der Residuensatz besagt, dass das Kurvenintegral längs einer geschlossenen Kurve über einer bis auf isolierte Singularitäten holomorphen Funktion lediglich vom Residuum in den Singularitäten im Innern der Kurve und der Windungszahl der Kurve um diese Singularitäten abhängt. Anstelle eines Kurvenintegrals kann man also nur Residuen und Windungszahlen berechnen, was in vielen Fällen einfacher ist.

[Bearbeiten] Satz

Ist $D\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, $D f$ diskret in $D$ und $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorph, gilt für jeden nullhomologen Zyklus $Γ$ in $D$ mit $\operatorname{Spur}\,\Gamma\cap D_f=\emptyset$ und der Windungszahl $\operatorname{ind}$ :

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma f=\sum\limits_{a\in D}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{Res}_a f(z)$

Die Summe auf der rechten Seite ist stets endlich, denn $Γ$ ist nullhomolog, und damit liegt $\operatorname{Int}\,\Gamma$ relativ kompakt in $D$ und ist insbesondere beschränkt. Weil $D f$ diskret in $D$ ist, ist $\operatorname{Int}\,\Gamma\cap D_f$ endlich, und nur dies sind die Punkte, die zu der Summe beitragen, denn für alle anderen verschwindet die Windungszahl oder das Residuum.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Handelt es sich bei den Punkten in $D f$ um hebbare Singularitäten, verschwindet das Residuum in diesen Punkten, und man erhält den Integralsatz von Cauchy:

$\int_\Gamma\,f=0$

Ist $f$ auf $D$ holomorph und $z\in D$ , hat $\zeta\mapsto\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$ einen Pol 1. Ordnung in $z$ mit Residuum $f (z)$ , und man erhält die Integralformel von Cauchy: $\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta = \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z)$

[Bearbeiten] Null- und Polstellen zählendes Integral

Ist $f\not\equiv 0$ auf $D$ meromorph mit der Nullstellenmenge $N$ , der Polstellenmenge $P$ und $\operatorname{Spur}\,\Gamma\cap \left( N\cup P \right)=\emptyset$ , dann folgt mit dem Residuensatz:

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f'}{f}=\sum\limits_{a\in N\cup P}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{ord}_a f$

Dabei bezeichnet

$\operatorname{ord}_a f := \begin{cases} k, & \mbox{falls }f\mbox{ in }a\mbox{ eine Nullstelle }k\mbox{-ter Ordnung hat}\\ -k, & \mbox{falls }f\mbox{ in }a\mbox{ eine Polstelle }k\mbox{-ter Ordnung hat}\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$

die Null- bzw. Polstellenordnung von $f$ in $a$ . Mit der Rechenregel des Residuums für die logarithmische Ableitung gilt $\operatorname{ord}_a f = \operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}$ .

[Bearbeiten] Praktische Anwendung

Der Residuensatz wird häufig dazu verwendet, reelle Integrale über den Umweg der komplexen Zahlen zu berechnen. Dazu führt man häufig eine geschlossene Kurve ein, die die reellen Integrationsgrenzen überdeckt; das Integral über den übrigen Teil der Kurve ist meist so konstruiert, dass es nach einem Grenzübergang verschwindet.

[Bearbeiten] Gebrochenrationale Funktionen

Ist $f=\frac{p}{q}$ Quotient zweier Polynome mit $\operatorname{deg}\,p+2\leq\operatorname{deg}\,q$ und $q(z)\neq 0$ für alle $z\in\mathbb{R}$ , ist

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \sum\limits_{a\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}_a f(z)$ ,

$\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im} z>0\}$ die obere Halbebene, denn man kann mit $\alpha\colon [0,\pi]\to\mathbb{C}$ , $t\mapsto Re^{\mathrm{i}t}$ für ein großes $R\in\mathbb{R}$ , über den geschlossenen Halbkreis $\Gamma := [-R,R] \oplus \alpha$ integrieren und den Grenzübergang $R\rightarrow\infty$ vollziehen. Wegen $\left|\frac{p(z)}{q(z)}\right| \leq \frac{c_p |z|^{\operatorname{deg}\,p}}{c_q |z|^{\operatorname{deg}\,q}} \leq \frac{c}{|z|^2}$ für großes $| z |$ und Konstanten $c,c_p,c_q\in\mathbb{R}$ folgt mit der Standardabschätzung für Kurvenintegrale $\left|\int_\alpha f\right| \leq L(\alpha) \cdot \max\limits_{\zeta\in\operatorname{im}\alpha}\left| f(\zeta) \right| \leq \pi R \cdot \frac{c}{R^2} \rightarrow 0\,(R\rightarrow\infty)$ , also gilt $\int_\Gamma f \rightarrow \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z\,(R\rightarrow\infty)$ und wegen der obigen Abschätzung existiert letzteres Integral auch. Mit dem Residuensatz folgt die Berechnungsformel.

Sei beispielsweise $f\colon\mathbb{C}\setminus\{\pm\mathrm{i}\}\to\mathbb{C}$ , $z\mapsto\frac{1}{z^2+1}$ mit Polen 1. Ordnung in $\pm\mathrm{i}$ . Dann ist $\operatorname{Res}_{\mathrm{i}} f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}}$ , und damit $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2\mathrm{i}} = \pi$ .

[Bearbeiten] Trigonometrische Funktionen

Ist $r(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}$ Quotient zweier Polynome mit $q(x,y)\neq 0$ für alle $x,y\in\mathbb{C}$ mit $x 2 + y 2 = 1$ , ist

$\int\limits_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t$	$= \int\limits_0^{2\pi} r\left( \frac{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}{2}, \frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{d}t = \int_{\partial\mathbb{E}} \frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right) \mathrm{d}{z}$
	$= 2\pi\mathrm{i}\sum\limits_{a\in\mathbb{E}}\operatorname{Res}_a \left(\frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right)\right)$ ,

$\mathbb{E}:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe, denn die Windungszahl der Einheitskreislinie ist im Innern des Einheitskreises $1$ , und nach Voraussetzung liegen keine Singularitäten auf der Einheitskreislinie.

Beispiel: $\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t} = 2\int_{\partial\mathbb{E}}\frac{\mathrm{d}z}{z^2+4\mathrm{i}z-1} = 4\pi\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ , denn $z\mapsto \frac{1}{z^2+4\mathrm{i}z-1}$ hat in $\left(-2\pm\sqrt{3}\right)\mathrm{i}$ Pole 1. Ordnung, aber nur der Pol bei $\left(-2+\sqrt{3}\right)\mathrm{i}$ liegt in $\mathbb{E}$ , und dort hat $f (z)$ das Residuum $\frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}$ .