Schauderbasis

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Definition falsch oder unüblich (topologisch l.u.?)

In der Funktionalanalysis wird eine höchstens abzählbare, linear unabhängige Menge eines Banachraums, deren lineare Hülle dicht im ganzen Raum ist, als Schauderbasis bezeichnet. In endlich-dimensionalen normierten Räumen stimmt der Begriff der Schauderbasis mit dem der Basis des Vektorraums überein.

[Bearbeiten] Definition

Sei $(X, \left\|.\right\|)$ ein Banachraum über dem Grundkörper $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ . Eine endliche oder abzählbare Folge $b_n \in X,\; (n \in I \subseteq \mathbb{N})$ heißt Schauderbasis, falls jedes $x \in X$ als konvergente Reihe $x = \sum_{n \in I} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}$ , dargestellt werden kann, und zudem die Menge $\{b_n\}_{n \in I}$ linear unabhängig ist.

[Bearbeiten] Beispiele

In einem endlich-dimensionalen normierten Vektorraum bildet jede Basis des Vektorraums auch eine Schauderbasis und umgekehrt jede Schauderbasis auch eine Basis des Vektorraums.
Im Raum $\ell^p := \left\{ (x_j)_{j=1}^\infty, x_j \in \mathbb{R} \,:\, \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p < \infty \right\}$ mit der Norm $\left\| x \right\| = \sqrt[p]{\sum_{j=1}^\infty |x_j|^p}$ bilden für $1 \leq p < \infty$ die Einheitsvektoren $(1, 0, 0, \dots), (0,1,0,0, \dots), \dots$ eine Schauderbasis.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ein Banachraum, der eine Schauderbasis besitzt, ist separabel.
Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.^[1]
In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie Basis des Vektorraums, da in diesem Fall die Basis des Vektorraums stets überabzählbar ist.
Die Darstellung eines Elements $x \in X$ bezüglich einer Schauderbasis ist eindeutig, die Zuordnungen $b_n^\ast : x \mapsto \xi_n$ werden als Koeffizientenfunktionale bezeichnet und sind Elemente des Dualraums von $X$ .