Separabel (Topologie)
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Topologie bezeichnet separabel eine abstrakte Eigenschaft von Räumen, die beispielsweise Beweisführungen erleichtern kann. Wenn X ein seperabler Hilbertraum ist, lässt sich also mit der folgenden Definition jedes 
beliebig genau durch Elemente yk eines dichten abzählbaren Teilsystems approximieren.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.
[Bearbeiten] Kriterien für separable Räume
Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis (zweites Abzählbarkeitsaxiom) ist separabel. Man erhält die abzählbar dichte Teilmenge, indem man aus jeder Menge in der Basis einen Punkt auswählt.
[Bearbeiten] Beispiele
Beispiele für separable Räume sind etwa:
- Die Räume
sind für 
separabel, da 
abzählbar ist und dicht in liegt. - Die Räume Lp(Ω) mit einer beschränkten, offenen Teilmenge
und 
sind separabel. - Die Folgenräume
für sind separabel. - Die Räume Ck(Ω) sind für natürliches k separabel. Dabei bezeichnet Ω eine offene Teilmenge des .
[Bearbeiten] Gegenbeispiele
- Der Raum der beschränkten Folgen
ist nicht-separabel. - Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums (Der Verweis liefert auch eine genaue Definition dieses Raumes).
