Liste mathematischer Sätze

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[Bearbeiten] A

• Satz von Abel-Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom Grad fünf oder größer ist nicht durch Radikale auflösbar.
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten
• Satz von Ado
• Satz von Alaoglu
• Satz von Arzelà-Ascoli

[Bearbeiten] B

• Satz von Baire
• Fixpunktsatz von Banach: Jede kontrahierende Abbildung auf einem vollständigen metrischen Raum besitzt genau einen Fixpunkt.
• Satz von Bauer-Fike
• Satz von Bayes: ermöglicht die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) aus P(B|A).
• Satz von Beckman und Quarles
• Satz von Bernoulli
• Satz von Berry-Esséen
• Satz von Bohr-Mollerup: dient der Charakterisierung der Gammafunktion
• Lemma von Bézout: Der ggT(a, b) lässt sich als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen.
• Satz von Bézout: Zwei ebene Kurven vom Grad d bzw. e schneiden sich in Punkten (mit Vielfachheiten gezählt).
• Satz von Bloch
• Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte reelle Zahlenfolge enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
• Lemma von Borel-Cantelli
• Fixpunktsatz von Brouwer: Jede stetige Abbildung der n-dimensionalen Vollkugel in die n-dimensionale Vollkugel hat einen Fixpunkt.

[Bearbeiten] C

• Satz von Cantor-Bernstein-Schröder: Ist eine Menge A höchstens gleichmächtig zu einer Menge B und B höchstens gleichmächtig zu A, dann sind A und B gleichmächtig.
• Satz von Carmichael: Bedingungen für einen multiplikativen Kongruenzgenerator mit maximaler Periodenlänge.
• Satz von Cayley
• Satz von Cayley-Hamilton: Jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.
• Satz von Ceva
• Cauchyscher Grenzwertsatz
• Cauchyscher Integralsatz
• Cauchyscher Mittelwertsatz (auch Mittelwertsatz der Integralrechnung):
• Chinesischer Restsatz
• Cramer’sche Regel: Formel zu Berechnung der Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems mittels Determinanten.

[Bearbeiten] D

• Satz von Desargues (17. Jh.): begründete die Rede von den Parallelen, die sich im Unendlichen schneiden.
• Vier-Kreise-Satz von Descartes: (Beziehung zwischen vier Kreisen, die sich berühren)
• Satz von Dini: Jede punktweise gegen eine stetige Funktion konvergierende monotone Folge stetiger reeller Funktionen auf einem kompakten Raum konvergiert gleichmäßig.
• Dirichletscher Primzahlsatz: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu a modulo m (jeweils natürliche Zahlen, a teilerfremd zu m) sind.

[Bearbeiten] E

• Satz des Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
• Satz von Euler (auch Satz von Euler-Fermat genannt)
• Satz von Engel

[Bearbeiten] F

• Kleiner Fermatscher Satz: Für jede ganze Zahl a und jede Primzahl p ist a^p = a (mod p).
• Satz von Fermat-Wiles-Taylor, auch Großer Fermatscher Satz (engl. Fermat's Last Theorem): Für n > 2 gibt es keine natürlichen Zahlen a, b, c > 0 mit aⁿ + bⁿ = cⁿ.
• Fermatscher Primzahlensatz: Eine Primzahl > 2 ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie die Form 4 n + 1 hat.
• Satz von Fodor
• Satz von Fubini: Rückführung von mehrdimensionalen Integralen auf eindimensionale Integrale
• (Gaußscher) Fundamentalsatz der Algebra (Gauß 1799): Über dem Körper der komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.
• Fundamentalsatz der Analysis: Die Ableitung der Stammfunktion einer Funktion ist die Funktion selbst; das Integral lässt sich mit Hilfe der Stammfunktion, die Stammfunktion mit Hilfe des Integrals berechnen.
• Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als eins besitzt eine Primfaktorzerlegung, welche bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.

[Bearbeiten] G

• Satz von Gauß-Bonnet
• Gaußscher Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz
• Satz von Gauß-Markow: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer.
• Gentzenscher Hauptsatz, auch Schnittsatz; er besagt, dass die Schnittregel in Kalkülen redundant ist.
• Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
• Gödelscher Vollständigkeitssatz
• Satz von Green: Zusammenhang zwischen Flächen- und Kurvenintegral.
• Satz von Gershgorin

[Bearbeiten] H

• Satz von Hahn-Banach: Stetige lineare Funktionale auf Teilräumen von Banachräumen lassen sich auf den ganzen Raum ausdehnen
• Satz von Hall: (Graphentheorie)
• Satz_über_die_Hauptachsentransformation
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Die Ableitung der Stammfunktion einer Funktion ist die Funktion selbst; das Integral lässt sich mit Hilfe der Stammfunktion, die Stammfunktion mit Hilfe des Integrals berechnen.
• Satz von Heine: Ist eine Funktion in einem abgeschlossenen Intervall stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.
• Satz von Heine-Borel: Die kompakten Teilmengen von Rⁿ sind genau die Teilmengen, die beschränkt und abgeschlossen sind.
• Satz von Hellinger-Toeplitz: Auf einem Hilbertraum überall definierte symmetrische Operatoren sind stetig.
• Satz des Heron: Berechnung der Dreiecksfläche aus den Seitenlängen
• Hilbertscher Nullstellensatz
• Hilberts Satz 90
• Höhensatz von Euklid: verknüpft Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten, h² = p q.
• Satz von de l'Hospital: Sind die Grenzwerte der differenzierbaren Funktionen in Zähler und Nenner eines Bruchs Null oder unendlich, so ist der Grenzwert dieses Bruchs gleich jenem mit den Ableitungen der Funktionen in Zähler und Nenner.

[Bearbeiten] I

• Identitätssatz für holomorphe Funktionen
• Satz vom Igel: Auf einer Sphäre Sⁿ gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist.
• Satz von der impliziten Funktion
• Intervallschachtelungssatz: Eine Intervallschachtelung erfasst genau eine Zahl.
• Lemma von Itō

[Bearbeiten] J

• Satz von Jung
• Satz von Jacobi über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten

[Bearbeiten] K

• Kathetensatz: verknüpft Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse und Hypotenusenabschnitt, a² = p c.
• Satz von Knuth
• Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem
• Satz von Kuratowski: liefert ein Kriterium dafür, ob ein Graph planar (plättbar) ist oder nicht.
• Lemma von König: Ein zusammenhängender Graph mit unendlich vielen Knoten endlichen Grades hat einen unendlich langen Pfad.
• Satz von König: Existieren in einem Graphen nur gerade Kreise, so ist er bipartit.
• Satz von Krein-Milman
• Satz von Kummer

[Bearbeiten] L

• Satz von Lagrange: (endliche Gruppen)
• Äquivalenzsatz von Lax: Konsistenz plus Konvergenz ist äquivalent zu Stabilität.
• Lemma von Lax-Milgram
• Eindeutigkeitssatz von Lerch
• Satz von Lindemann-Weierstraß: Transzendenz der Kreiszahl π.
• Satz von Lie
• Satz von Liouville
• Satz von Little
• Löwenheim-Skolem-Theorem

[Bearbeiten] M

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von Marsaglia
• Satz von Maschke
• Maßerweiterungssatz
• Satz von Menelaos
• Minkowskischer Gitterpunktsatz: Aussage über Dichte von Gitterpunkten
• Einbettungssatz von Mitchell: Aussage über Konkretheit abelscher Kategorien
• Satz über monotone Klassen

[Bearbeiten] N

• Noether-Theorem: Zusammenhang zwischen Symmetrien physikalischer Systeme und Erhaltungssätzen
• Noetherscher Normalisierungssatz: eine endlich erzeugte Algebra über einem Körper ist endlich über einem Polynomring

[Bearbeiten] O

• Satz über die offene Abbildung

[Bearbeiten] P

• Satz von Pascal: Liegen die Eckpunkte eines willkürlich gewählten Sechsecks auf einem Kegelschnitt, so liegen die Schnittpunkte der drei gegenüberliegenden Seitenpaare des Sechsecks auf einer Geraden, der Pascalgeraden.
• Existenzsatz von Peano
• schwacher Perfekte-Graphen-Satz
• starker Perfekte-Graphen-Satz
• Satz von Picard
• Satz von Picard-Lindelöf
• Satz von Pick: Sei A der Flächeninhalt des Polygons, I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons und R die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Polygons, dann gilt: .
• Poincaré-Lemma
• Poincaré-Bendixson-Theorem
• Poincaré-Hopf-Theorem
• Satz des Pythagoras: geometrische und algebraische Beziehung zwischen den drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, a² + b² = c².
• Satzgruppe des Pythagoras: besteht aus dem Satz des Pythagoras, dem Kathetensatz des Euklid und dem Höhensatz des Euklid.

[Bearbeiten] R

• Satz von Radon-Nikodym
• Rangsatz
• Residuensatz
• Riemannscher Abbildungssatz
• Riemannscher Hebbarkeitssatz
• Riemannscher Umordnungssatz
• Rieszscher Darstellungssatz
• Satz von Rolle: Jede stetige und differenzierbare Funktion besitzt zwischen zwei Nullstellen an mindestens einer Stelle eine waagerechte Tangente.

[Bearbeiten] S

• Satz von Sard
• Fixpunktsatz von Schauder
• Schlangenlemma: liefert Verbindungshomomorphismen
• Schrankenlemma: In einem Vektorraum mit Erzeugendensystem aus n Elementen sind je n + 1 Vektoren linear abhängig.
• Satz von Schwarz: Bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen ist die Reihenfolge der Ableitungen egal.
• Satz von Scorza Dragoni
• Satz von Silver
• Sobolew'scher Einbettungssatz
• Satz von Solovay
• Satz von Sperner
• Satz von Stokes: (Verallgemeinerung des Gaußschen Integralsatzes)
• Satz von Stolz-Cesàro
• Approximationssatz von Stone-Weierstraß
• Spektralsatz
• Strahlensatz: Bei zwei vom selben Punkt ausgehenden Strahlen, die parallele Geraden schneiden, verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl; die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.

[Bearbeiten] T

• Satz vom Tangentenviereck: Jedes Viereck, bei dem die Summen der jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich sind, besitzt einen Inkreis und ist somit ein Tangentenviereck.
• Satz von Taylor: Jede auf einem reellen Intervall stetig differenzierbare Funktion lässt sich durch ein entsprechendes Taylorpolynom und ein passendes Restglied ausdrücken.
• Satz des Thales: Für gegebene Punkte A, B sind die Punkte C, die ein rechtwinkliges Dreieck ABC ergeben, genau die Punkte des Kreises um den Mittelpunkt der Strecke AB.
• Theorema egregium: Die Gaußsche Krümmung hängt lediglich von den Koeffizienten der ersten Fundamentalform einer Fläche ab.
• Satz von Thabit
• Fortsetzungssatz von Tietze
• Satz von Tonelli (auch Satz von Fubini-Tonelli)
• Transformationssatz
• Satz von Tschebyscheff: Test auf elementare Integrierbarkeit

[Bearbeiten] U

• Satz über die Umkehrfunktion
• Lemma von Urysohn

[Bearbeiten] V

• Satz von Van der Waerden
• Vergleichbarkeitssatz
• Vier-Farben-Satz: Vier Farben reichen immer aus, um eine beliebige Landkarte (ohne Ex- oder Enklaven) so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.
• Satz von Vieta
• Wurzelsatz von Vieta: Jedes (normierte) Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren darstellen.
• Satz von Varignon: Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

[Bearbeiten] W

• Satz von Weierstrass-Casorati: Eine analytische Funktion kommt in der Umgebung einer isolierten wesentlichen Singularität jeder komplexen Zahl beliebig nahe.
• Satz von Weyl
• Einbettungssatz von Whitney
• Satz vom Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig mit ihrem Gegenteil wahr sein.
• Satz von Wilson: p > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn durch p teilbar ist.
• Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

[Bearbeiten] Y

• Satz von Young: Die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion ist F_σ-Menge.

[Bearbeiten] Z

• Zentraler Grenzwertsatz: Für jede Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter reeller Zufallsvariabler, für die Erwartungswert und Varianz existieren, konvergiert die Folge der Verteilungen der standardisierten Summenvariablen schwach gegen die Standard-Normalverteilung.
• Lemma von Zorn: Jede nicht leere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
• Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion f nimmt zwischen a und b sämtliche Werte zwischen f(a) und f(b) an.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Liste der Mathematiker