対称行列

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対称行列（たいしょうぎょうれつ、symmetric matrix）とは、正方行列 A のうち A の転置行列 A^T が A 自身と一致するもの。

$A = A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}$

[編集] 定義

n 次正方行列 A = (a_ij)_1≤i,j≤n が対称あるいは転置対称であるとは

$(a_{ij}) = A = A^{\mathrm{T}} = (a_{ji}) \iff a_{ij} = a_{ji} \mbox{ for any } 1 \le i,j \le n$

が成り立つことである。

[編集] 性質

実対称行列の固有値は全て実数である。
正値実対称行列（対応する二次形式が正定値）の固有値は全て正の実数である。
同じ型の対称行列の和、スカラー倍はまた対称行列である。したがって、同じ型の対称行列の全体は加群（ベクトル空間）をなす。n 次の対称行列のなす加群を Sym(n)、あるいは係数環が R であればそれを明示して、Sym(n; R), Sym_n(R) などとあらわす。
実対称行列はある直交行列により対角化可能である。
n 次の実対称行列 A と n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の標準内積（ユークリッド内積） (·, ·) に関して (x, Ay) = (Ax, y) (for all x, y ∈ Rⁿ) が成り立つ。すなわち、実対称行列はユークリッド内積に関して自己共役な作用素である。

[編集] 二次形式

n 個の変数 x₁, x₂, ..., x_n に関する二次形式（斉二次の多項式）は、対称行列 A により

$\mathbf{x}^{\rm T}A\mathbf{x} = (\mathbf{x}, A\mathbf{x}) = \sum_{1 \leq i,j \leq n} a_{ij}x_i x_j$

のかたちで表すことができる。これを A に対応する二次形式といい、A をこの二次形式の係数行列とよぶ。また、この二次形式をジーゲルの記号 (Sigel's symbol) を使って A[x] と表す。

[編集] 正値対称行列

実対称行列 A は対応する二次形式 A[x] が正値（または正定値）（すなわち任意の x ∈ Rⁿ に対し A[x] > 0）であるとき正値（または正定値）であるといい A > 0 で表す。同様に A[x] が非負値（または半正値）（すなわち任意の x ∈ Rⁿ に対し A[x] ≥ 0）であるとき非負値（または半正値）であるといい A ≥ 0 で表す。