Diskussion:Tensor

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Abgearbeitete Beiträge sind ausgelagert nach Diskussion:Tensor/Alt.

Der Artikel gibt eine guten Überblick. Aber zum Vertiefen des Stoffes wären ein paar Literaturhinweise sehr hilfreich.

[Bearbeiten] Tensor

http://www.tensortrucks.com/ es gibts also nicht nur Tensor (Mathematik)

[Bearbeiten] Zur Überarbeitung bzw. Neufassung

Der Artikel ist, wie mehrfach bemerkt, eine Wüstung. Leider ist es nicht einfach, eine lineare Struktur in dieses komplexe Thema zu bringen. Andererseits birgt die Aufteilung in mehrere Artikel das Problem, dass Dinge mehrfach erklärt werden oder auch das Bearbeitungsniveau sehr ungleichmäßig wird. Vorerst habe ich versucht, diese Diskussion etwas durch Umstellen thematisch zu ordnen.--LutzL 16:02, 9. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Weg damit!

Dieser Artikel lässt mich an ein gelingen des Projektes Wikipedia zweifeln. Der Artikel ist eine absolute Katastrophe, zum davonlaufen. Deshalb gibt es mittlerweile mehrere Artikel zum selben Thema, nämlich Tensorprodukt, Vergleich von Tensordefinitionen und dieser Artikel Tensor. Einige Autoren haben wohl eingesehen, dass die Überarbeitung dieses Artikels zwecklos ist.

Ich möchte alle hochbegabten Mathematiker (vor allem Lutzl) daran erinnern, dass es hier nicht darum geht einen Artikel für eine Fachzeitschrift zu erstellen. Ihr solltet Euch den Beitrag "Oma-Prinzip" zu Herzen nehmen. Diese Kritik habe ich in ähnlicher Form schon mehrfach gelesen. Der Artikel Differentialrechnung ist ein Beispiel dafür, dass es auch anders geht. Es behaupte hier keiner, dass Tensoren schwieriger zu verstehen sind! --Kilian Klaiber 10:21, 17. Apr 2005 (CEST)

Falls Du diese Diskussion hier gelesen hast, und evtl. auch Dir die Geschichte dieses Artikels anschaust, wirst Du feststellen, dass die Aufteilung in mehrere Artikel genau aus diesem Grund erfolgte und noch in Arbeit ist. Im Prinzip bräuchte es noch eines Physikers, der darauf achtet, dass auch die Indexjongliererei nicht zu kurz kommt. Um was Konstruktives beizusteuern, und da Du das Oma-Prinzip ins Spiel bringst: Zu welchem Anlass kommt ein Abiturient, evtl. im Leistungskurs, mit Tensoren in Kontakt? Im Mathe-Studium tauchen Tensoren erstmals indirekt bei der mehrdimensionalen Taylorformel und Flächenintegration auf, also 2.-3. Semester. Physik ist unklar, aber in auf systematische Art wohl erst nach dem Grundstudium.--LutzL 08:21, 18. Apr 2005 (CEST)

PS:Ich habe mir erlaubt, Deinen Beitrag in die laufende Diskussion etwas einzusortieren. PPS: Kannst Du auch direkte Kritik beisteuern, Abschnitte, die unleserlich sind, oder gar falsch, benennen...

Gerne, nur weil Tensoren üblicherweise nicht im Schulunterricht behandelt werden, bedeutet das nicht, dass wir nicht um Verständlichkeit bemüht sein sollten. Im Gegenteil, wir müssen besonders verständlich formulieren, da wir wenige Kenntnisse voraussetzen können. Die Begriffe des Trägheitstensors oder Spannungstensors sind ja nichts exotisches und beschreiben Alltagsgegenstände. Über solche relativ einfachen Konzepte sollte man den Leser zum Begriff des Tensors hinführen.

Als erstes sollten meiner Meinung nach alle bisher gegebenen Definitionen von Tensoren einander gegenübergestellt werden. Das meine ich ganz wörtlich. Wenn sich herausstellen sollte das der Begriff des Tensors im mathematischen Sinne von demjenigen im physikalischen Sinne abweicht, sollten zwei vollkommen getrennte Artikel erstellt werden. Wir müssen herausfinden, ob hier wirklich alle von demselben Gegenstand reden. Ich kann das derzeit nicht beurteilen. Vielleicht bedarf das eines Austausches zwischen den unterschiedlichen Fakultäten, die hier versammelt sind. --Kilian Klaiber 19:29, 18. Apr 2005 (CEST)

Trägheits- und Spannungstensoren sind keineswegs einfache Gegenstände, da geht sowas wie die Massendichte oder die Gestalt eines Körpers bzw. ein Verschiebungsvektorfeld ein. Der Spannungstensor ist sogar ein Tensorfeld. Falls Du lesen kannst, der erste Abschnitt ist die Gegenüberstellung der Tensorbegriffe in mathematischer, physikialischer und altmodischer Darstellung. Falls Du weiter die Diskussion gelesen haben solltest, wüßtest Du, dass genau diese Aufspaltung vorgeschlagen wurde und durch die Verlinkung in der Gegenüberstellung schon teilweise vollzogen. Es hat nur noch niemand so richtig Zeit und Muße gefunden, diesen Artikel hier zu entrümpeln und endgültig auf Übersichtsartikel umzustellen.--LutzL 09:07, 19. Apr 2005 (CEST)

Gut, die mathematische Definition stimmt mit der physikalischen Definition nicht überein. Während bei der mathematischen Definition die Tensoren T jeweils multilineare Abbildungen aus den Dualräumen V* in den Körper K sind, stellen die "physikalischen Tensoren" multilineare Abbildungen sowohl aus den Dualräumen V* als auch aus den zu gehörigen Vektorräumen V in den Körper K dar. Das hieße dann, dass die mathematische Definition einen Spezialfall der physikalischen Definition ist? Das würde doch die Ehre jedes Mathematikers kränken. Umgekehrt muss es sein!

Die entscheidende Passage ist die folgende:

"In den meisten Texten der Physik "vergißt" man nun, dass die Symbole mit den Indizes Koordinaten in einer Basisdarstellung sind, betrachtet diese Zusammenballung von Zahlen also nur noch als Abbildung mit etwas unüblicher Indexschreibweise..."

Häufig werden Tensoren T durch Ihr Transformationsverhalten unter Koordinatentransformation in der Physik festgelegt. Als Tensor wird (häufig) nicht die Abbildung T in den Körper K bezeichnet sondern deren Darstellung Tij in einer Basis ei, ej. Es gibt also tatsächlich unterschiedliche Definitionen. Für die "physikalische Definition" ist das Transformationsverhalten von Tij unter Koordinatentransformation entscheidend. Das ergibt sich zwar zwangsläufig aus dem Transormationsverhalten der Basistensoren, aber genau das muss herausgearbeitet werden. -- Kilian Klaiber 10:55, 20. Apr 2005 (CEST)

Hi, du vergißt, dass der doppelte Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums wieder der Vektorraum ist. Ausserdem sollte zu erkennen sein, dass in der mathematischen Definition s verschiedene Vektorräume vorkommen können, während in der physikalischen nur zwei vorkommen, bei Bedarf mehrfach. Die Herausarbeitung des Transformationsverhaltens steht im extra Artikel Tensordarstellungen der Physik. Das wäre hier doch etwas zu lang. - LutzL 11:33, 20. Apr 2005 (CEST)

Sorry, der "doppelte Dualraum" - du meinst wohl Bidualraum V** - ist nicht gleich dem Vektorraum V. Im endlich-dimensionalen gibt es einen Isomorphismus zwischen dem Bidualraum V** und dem Vektorraum V. In der mathematischen Definition der Tensoren sind unterschiedliche Dualräume V1*, ..., V*s angegeben. Gleichwohl sind ausschließlich Dualräume Teil des Definitionsbereichs, während bei der physikalischen Definition sowohl Dualräume V* als auch Vektorräume V angegeben sind. Hier der Vergleich:

$T:V_1^*\times V_2^*\times\dots\times V_s^*\to\mathbb K$ .

$T:V\otimes V^*\otimes V^*\otimes V\otimes V^*\to\mathbb K$

Hast du das etwa nicht erkannt? Schmeiß doch die "Physiker" und "Ingenieur"-Definitionen raus aus dem Artikel und benenne Ihn zu "Tensor in der Mathematik" um. Ich glaube das wäre am sinnvollsten. -- 84.151.172.54 16:38, 20. Apr 2005 (CEST)

Du hast eine etwas zu enge Vorstellung von der Bedeutung des Wortes "gleich". Oben meint

V = V * *

, dass die natürliche Abbildung $V\to V^{**}$ ein Isomorphismus ist. Ganz ähnlich wird (fast?) jeder die rationale Zahl

3 / 2

und die reelle Zahl

3 / 2

"gleich" nennen, obwohl letztere formal eine Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen rationaler Zahlen ist; gemeint ist natürlich so etwas wie die Aussage, dass das Bild von $(3/2)_{\mathbb Q}$ unter dem einzigen Körperhomomorphismus $\mathbb Q\to\mathbb R$ gleich $(3/2)_{\mathbb R}$ ist. In der Mathematik geht es nicht darum, sich immer zu 100% formal korrekt auszudrücken, sondern darum, stets zu wissen, wie man eine Aussage formal korrekt ausdrücken könnte. Ansonsten landet man bei Russell und Whitehead und dem 1000-Seiten-Beweis von

1 + 1 = 2.

Es gibt nur einen Tensorbegriff, und der sollte auch in einem Artikel zusammen mit den verschiedenen Sichtweisen beschrieben werden. Schon im Interesse der Verständlichkeit sollte man aber hier nicht mit der mathematischen Definition (siehe die zweite Hälfte von Tensorprodukt) anfangen.-- Gunther 17:16, 20. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, ich weiß nur, dass zwischen Isomorphismen und Automorphismen in der linearen Algebra unterschieden wird. Das habe ich nicht erfunden. Entscheidend ist aber, dass die Definitionen in diesem Artikel einander derzeit widersprechen. Was mir auch nicht behagt, ist die Art, wie in dem Artikel mit Physikern und Ingenieuren umgegangen wird. Die Physiker "vergessen" einfach Dinge und benutzen eine unübliche Schreibweise. Schließlich hat der Erfolg der Relativitätstheorie sogar den mathematischen Wissensstand konserviert. Wie gemein! Die Ingenieure müssen eh nur rechnen.... Das ist herablassend und polemisch. So etwas gehört einfach nicht in so einen Artikel. Meine Meinung. -- Kilian Klaiber 21:00, 20. Apr 2005 (CEST)

Niemand hat behauptet, dass Isomorphie und Gleichheit dasselbe ist. Aber manchmal ist es praktisch, einen Isomorphismus als Identifizierung anzusehen. Weiteres Beispiel: Für drei Mengen

X, Y, Z

sind $X\times(Y\times Z)$ und $(X\times Y)\times Z$ strenggenommen verschiedene Mengen, aber man identifiziert beide mit der Menge der Tripel $\{(x,y,z)\mid x\in X,y\in Y,z\in Z\}.$ "Natürlichkeit" ist dabei ein zentraler Begriff, siehe Kategorientheorie.-- Gunther 21:47, 20. Apr 2005 (CEST)

Gunther, ich zitiere Lutz: "Hi, du vergißt, dass der doppelte Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums wieder der Vektorraum ist" Diese Aussage ist schlicht und einfach falsch! Natürlich kann ich einen Isomorphismus als Identifizierung ansehen. Ich kann auch zwei Mengen (z.B. 10 Äpfel und 10 Birnen) bijektiv aufeinander abbilden. Ich kann jeden Apfel mit genau einer Birne "identifizieren". Nur ist die Schlussfolgerung "Äpfel sind Birnen" falsch! Darüber sollten wir keine weiteren Worte verlieren, sondern lieber versuchen, den Artikel zu verbessern. -- 84.151.172.54 23:22, 20. Apr 2005 (CEST)

Du hast recht, besser keine weiteren Worte. Die fragliche Definition der Mathematik ist ohnehin etwas ungewöhnlich und nicht ausgesprochen allgemein. Ich frage mich, wie sinnvoll die Doppelung der Dreiteilung ist, einerseits im Abschnitt "Gebrauch des Tensorbegriffs...", andererseits in die einzelnen Teile "Tensoren für Physiker/Ingenieure/Mathematiker". Auch die physikalische Kurzdefinition scheint mir ziemlich unverständlich. Wäre nicht das Beispiel Trägheitstensor eine bessere Einleitung?-- Gunther 01:26, 21. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] mehrdimensionale Taylor-Polynome

Wieso löschst Du den Hinweis auf die Taylorentwicklung? Das dürfte für viele die erste Begegnung mit einem Tensor sein.--Gunther 00:14, 22. Apr 2005 (CEST)

Ich meine, dass man nicht jede Matrix oder jeden Vektor als Tensor bezeichnen kann. Die Bezeichnung ist nur gerechtfertigt, wenn diese ein bestimmtes Transformationsverhalten haben. Kann man das von den Taylor-Koeffizienten immer sagen? Vielleicht war ich etwas voreilig. -- 84.151.172.145 09:55, 22. Apr 2005 (CEST)

Also sprach der Physiker. Aber lass Dich versichert sein, dass in

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)(h)+\frac12 f''(x)(h\otimes h)+\frac16 f'''(x)(h\otimes h\otimes h)+...$

die auftretenden Ableitungsgebilde vollsymmetrische Tensoren aufsteigender Stufe sind, nach physikalischer Diktion rein kovariant. -LutzL 10:13, 22. Apr 2005 (CEST)

Kannst Du das auch begründen? -- Kilian Klaiber 12:22, 22. Apr 2005 (CEST)

Ja, sie sind multilinear auf den Tangentialvektoren. Das Transformationsverhalten ergibt sich daraus. -- LutzL 13:24, 22. Apr 2005 (CEST)

Verstehe ich nicht, welche Tangentialvektoren? welches Transformationsverhalten?Kilian Klaiber

Was ist nun Lutzl, kannst du das nicht begründen?

Auch wenn Du als Physiker das nicht verstehen willst, in der Mathematik ist es vollkommen ausreichend, dass eine Funktion eine Multilinearform ist, um ihr einen Tensor zuzuordnen. -- LutzL 08:46, 25. Apr 2005 (CEST)

Du vergreifst dich im Ton und das nicht zum erstes mal! -- Kilian Klaiber 12:10, 25. Apr 2005 (CEST)

Im Vergleich mit Deiner nachgeschobenen Frage finde ich den Ton der Antwort völlig ok.--Gunther 12:36, 25. Apr 2005 (CEST)

Wenn Ihr Euch so unterhalten wollt, bitte!

[Bearbeiten] Zu den aktuellen Änderungen Mitte April 2005

Kleiner Kommentar zu Deinen heutigen Änderungen:

Ich denke, dass der mathematische Abschnitt noch nicht seine endgültige Form gefunden hat; von daher sollte man nicht allzu explizit Bezug darauf nehmen.
$V$ und $V * *$ "sind derselbe Vektorraum", während $V *$ etwas völlig anderes ist und bis auf die Dimension nicht viel mit $V$ und $V * *$ gemein hat.
(Formal korrekte Formulierung: Unter den drei Funktoren

$F\colon V\mapsto V,\quad G\colon V\mapsto V^*,\quad H\colon V\mapsto V^{**}$

von der Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume in sich sind

F

und

H

natürlich äquivalent, während

G

aus trivialen Gründen nicht äquivalent zu

F

oder

H

ist.)

Es würde mich sehr wundern, wenn Physiker über Elemente von Bidualräumen sprächen.
Den Satz mit dem "Wissensstand von 1915" halte ich für richtig, aber NPOV war er in dieser Formulierung definitiv nicht.

--Gunther 18:20, 23. Apr 2005 (CEST)

Die Definition im mathematischen Abschnitt nutzt übrigens schon die Identifizierung eines Vektorraums mit seinem Dualraum, denn das, was da steht, sind eigentlich Elemente von $(V_1^*\otimes V_2^*)^*$ (bis auf die Identifizierung mit den Multilinearformen).--Gunther 20:22, 23. Apr 2005 (CEST)

Die Definition eines kontravarianten Tensors der Stufe 1 als Element des Bidualraums ist ungewöhnlich und im unendlichdimensionalen Fall falsch.--Gunther 17:24, 26. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, diese Definition findest Du bei Eckhard Rebhan: "theoretische Physik I", Kapitel 25: "Mathematische Grundlagen der ART", S. 968 bis 973. Dort werden kontravariante Vektoren als (10)-Vektoren bezeichnet und kovariante Tensoren als (01)-Tensoren bezeichnet. -- Kilian Klaiber 18:43, 26. Apr 2005 (CEST)

Hi, Kilian: da wird im Buch wohl nicht an die mathematische Definition hier gedacht worden sein. Gunther: Und deshalb sollte in der mathematischen Definition auch was von endlichdimensionalen Vektorräumen drinstehen. Das sollte schnellstens nachgeholt werden. Kilian: Evtl. sollte man das umschreiben: Ein kontravarianter Tensor ist ein Vektor, was mit der allgemeinen Definition in Ordnung geht, weil, wie es schon dasteht, endlichdimensionale Vektorräume reflexiv sind, d.h. zu ihrem Bidual kanonisch isomorph sind.

Apropos Dimensionen: Es sollte wirklich noch ein Warnhinweis hin, dass Tensorprodukte unendlichdimensionaler Vektorräume nach der Universalkonstrution (s. Tensorprodukt) etwas messy sind, also eine Alternative Konstruktion über einen Normabschluss von endlichen Summen gebraucht wird. Z.B. im Tensorprodukt von Funktionenräumen, wie es z.B. beim Produktansatz zur Lösung der Wellengleichung benutzt wird.

-- LutzL 08:51, 27. Apr 2005 (CEST)

Ob das Tensorprodukt messy ist, hängt ganz davon ab, wie messy die Faktoren sind. Z.B. ist

$\mathbb Q[T]\otimes_{\mathbb Q}\mathbb C\cong\mathbb C[T],\quad \mathbb Q[X]\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q[Y]\cong\mathbb Q[X,Y].$

Für die Zwecke der Funktionalanalysis, oder um

$\mathbb Q[[X]]\hat\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q[[Y]]\cong\mathbb Q[[X,Y]]$

zu erreichen, braucht man ein anderes Tensorprodukt, aber wie ausführlich man hier darauf eingehen sollte, bin ich mir nicht sicher. Das sollte vielleicht besser nach Tensorprodukt.--Gunther 10:58, 27. Apr 2005 (CEST)

Hallo Lutzl: Es wird dort eine Definition für (10)-Vektoren gegeben. Genauer gesagt werden (10)-Vektoren als lineare Abbildungen von kovarianten Vektoren in R definiert. Die kovarianten Vektoren bzw. (01)-Vektoren spannen laut Rebhahn den dualen Vektorraum auf. Die Bezeichnung (01) und (10) hängt mit der üblichen Position der Indizes (oben oder unten) von Ko- und Kontravarianten Vektoren zusammen. Ich glaube du meinst, dass die Identifikation zwischen V und V** (kanonischer Ismorphismus) nur im endlichdimensionalen Fall definiert ist. Das fehlt im Artikel. Ich denke auch die Darstellung von Tensoren als Tensorprodukte funktioniert nur im Falle abzählbar unendlichdimensionaler Vektorräume (vielleicht auch nur im Falle endlichdimensionaler Vektorräume?). Was Du zum Schluss sagst verstehe ich allerdings nicht mehr: " eine Alternative Konstruktion über einen Normabschluss von endlichen Summen gebraucht wird. Z.B. im Tensorprodukt von Funktionenräumen, wie es z.B. beim Produktansatz zur Lösung der Wellengleichung benutzt wird." Ich weiß nicht, was Du damit meinst. Alles Gute -- Kilian Klaiber 11:04, 27. Apr 2005 (CEST)

Damit ist vermutlich die Vervollständigung von $E\otimes F$ bezüglich

$\|v\|=\inf\left\{\left.\sum\|e_i\|\cdot\|f_i\|\right|v=\sum e_i\otimes f_i\right\}\quad\mathrm{f\ddot ur}\ v\in E\otimes F$

gemeint. Damit gilt dann vermutlich $C(I)\hat\otimes C(I)\cong C(I\times I)$ (I = Intervall, C = stetige Funktionen). Ich hatte schon angefangen, einen Abschnitt in Tensorprodukt zu schreiben, habe aber aufgehört, als ich feststellen musste, dass das nicht das einzige vervollständigte Tensorprodukt zweier Banachräume ist. Das muss wohl jemand anderes weiterschreiben, denn ich weiß nicht, wie wichtig die beiden Begriffe jeweils sind.--Gunther 12:01, 27. Apr 2005 (CEST)

Ich denke, die Frage, ob der Raum der Tensoren 2.ter Stufe, auf denen eine Norm definiert ist, einen vollständigen Vektorraum bilden (Banachraum) bilden, sollte im rein mathematischen Teil des Artikels behandelt werden könnte. Der sieht zur Zeit noch wie Kraut und Rüben aus. Deshalb denke ich, dass einer von Euch da mal aufräumen sollte. -- Kilian Klaiber 15:52, 27. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, wenn Du Tensoren als Elemente von Tensorprodukten definierst, kannst Du meiner Meinung nach einfach den Artikel Tensorprodukt übernehmen. Jedenfalls brauchen wir dann nicht einen Artikel zum Tensorprodukt und einen über Tensoren! -- Kilian Klaiber 23:20, 29. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Zur allgemeinen Struktur des Artikels

(Ausgelagert Diskussion:Tensor/Alt ???)...Insgesamt teile ich die Meinung, dass der Text grausam ist, was auch mit der Ablehnung der Physiker gegen geometrische Objekte zu tun hat, d.h. den mathematischen Weg: geometrisches Objekt zuerst, Koordinatendarstellung dann. Die Physiker mögen es gern andersherum, d.h. Koordinaten und deren Transformationseigenschaften zuerst, um dann auf ein geometrisches Objekt zu schließen, Galilei rotiert im Grabe. Deshalb sieht die Reihenfolge hier auch aus wie:

1.) ein Tensor ist eine Abbildung T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, also eine Art Hypertupel, bei s=1 kommt ein normales n-Tupel raus, bei s=2 eine Matrix.

2.) Ein Tensor ist eine Äquivalenzklasse von Tripeln aus einer Basis B eines fixierten n-dim. Vektorraums V, einer Signatur S in {h,t}^s und eines Hypertupels T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, wobei {h,t} für Hoch- und Tiefstellen des entsprechenden Index steht und zwei Paare über die Basiswechselmatrix verbunden sind, welche (t)-ko- und (h)-kontravariant die Hypertupel verknüpft. Dann stellt man fest, dass (B,(h),T) den Koordinaten eines Vektors in der Basis B, d.h. einem Vektor aus V entspricht, dass (B,(t),T) genauso einem Kovektor/1-Form/linearen Funktional auf V entspricht, dass (B,(t,t),T) einer Bilinearform VxV->IR entspricht, dass (B,(h,t),T) einer linearen Abbildung V->V bzw. einer Bilinearform V^*xV->IR, insgesamt dass jeder Tensor eine Multilinearform definiert, was dann zu

3.) führt, dass ein Tensor ein Element eines Tensorproduktraums $V_1\otimes V_2\otimes\dots\otimes V_s$ ist und dieser als der Vektorraum aller Multilinearformen, d.h. Abbildungen die in jedem Argument einzeln linear sind, $V_1^*\times V_2^*\times\dots\times V_s^*\to\mathbb R$ definiert werden kann. Jede simultane Basiswahl in allen Faktoren im Tensorprodukt ergibt eine Basis des Tensorprodukts, wenn die Faktoren entweder V oder der Dualraum V^* sind, und die Basen alle gleich bzw. gleich der dualen Basis sind, dann landen wir wieder bei 2.)

4.) gibt es alternierende Tensoren bzw. Multilinearformen, s. Graßmann-Algebra, diejenigen n-ter Stufe in einem n-dimensionalen Vektorraum sind die sog. Pseudoskalare, die alternierenden Tensoren der Stufe n-1 sind die sog. Pseudovektoren.

--LutzL 14:40, 1. Feb 2005 (CET)

Nachdem einige Zeit vergangen ist, bin ich doch dafür, diese Reihenfolge in etwa einzuhalten, wobei man über die Aufteilung in mehrere Artikel, und vor allem die Bezeichnung dabei, diskutieren könnte.

1.) Tensorrechnung als Erweiterung der Matrixrechnung. Es ist auf die richtige Mischung aus Verständlichkeit und mathematisch korrekten Definitionen zu achten. Inhalt:

Tensoren sind Abbildungen aus dem kartesischen Produkt endlicher Indexmengen mit Werten in IR (im Prinzip in einem Ring), bezeichnet in Indexschreibweise.
Produkt als Hintereinanderhängen zweier Tensoren als Produkt der Abbildungen, Verbindung zu Matrizen vom Rang 1, xy^t.
Verjüngen von Tensoren, Beziehung zum euklidischen Skalarprodukt.
Überschieben von Tensoren, z.B. als (auch mehrfache) Verjüngung des Produkts.

2.) Genauso, wie Matrizen geometrischen Sinn als Koordinatendarstellungen linearer Abbildungen oder Bilinearformen erhalten, kann man obige Tensoren als Koordinatendarstellungen von Elementen eines Tensorprodukes von Vektorräumen geometrisch, und damit koordinatenfrei, definieren, genau wie die Operationen, s. den Vorschlag Benutzer:Gunther/Tensorprodukt. In diesen Zusammenhang, genauer zur Basiswahl im Tensorprodukt, gehört ein Bezug zum Kronecker-Produkt hinein, dies entspricht einer lexikalisch geordneten Produktbasis. Vertauschungsoperatoren, Eigentensoren dazu und die Beziehung zur Teilchenphysik als Beispiel.

3.) Die Physiker und ihre ko- und kontravarianten Tensoren. Unbedingt auf der vollen mathematischen Beschreibung bestehen, als Datenstruktur wäre diese (Pointer zur Basis, Bitfeld zum Hoch- und Tiefstellen, Multiarray mit den Koeffizienten). Auf dem Computer muss man natürlich so oder ähnlich (Summen von Vektortupeln) rechnen, aber warum auch auf dem Papier? Insbesondere auf die Schwierigkeit bei Benutzung von zwei oder mehr Vektorräumen eingehen, die sich unterschiedlich transformieren, lateinische und griechische sowie gepunktete Indizes.

--LutzL 16:02, 9. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Ein großer Artikel oder mehrere kleine

[Bearbeiten] Tensorprodukt

Ich bin unglücklich über den Redirect von Tensorprodukt auf diesen Artikel. Zum Tensorprodukt gäbe es viel mehr zu sagen, und aus dieser Kurzfassung der universellen Eigenschaft wird vermutlich niemand schlau. Dennoch ist natürlich das Tensorprodukt die (theoretische) Basis des ganzen Tensorbegriffs. Vorschlag: Aufteilung des Artikels in

Charakterisierung von Tensoren über das Transformationsverhalten
Formale Definition und universelle Eigenschaft (kann eigener Artikel werden)
Beziehung zwischen beiden

Die Aufgliederung nach Fächern kommt mir etwas künstlich vor. Auch Mathematiker können sich Tensoren als Fortsetzung der Reihe Vektor, Matrix, ... vorstellen.

Meinungen?--Gunther 14:57, 27. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: unter Benutzer:Gunther/Tensorprodukt schreibe ich gerade an einem möglichen Artikel für Tensorprodukt.--Gunther 13:52, 1. Mär 2005 (CET)

Die Aufspaltung dieses Artikel halte ich fuer sehr sinnvoll. --Matthy 14:49, 10. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Das Oma-Prinzip

Hej zusammen,

es ist gut, daß Ihr Euch über die mathematische (Un-)Bedenklichkeit auseinandersetzt. Allerdings sollte in einer Enzyklopädie Allgemeinverständlichkeit vordringliches Anliegen vor fachlicher Brillianz sein. Ich arbeite auf mein Diplom hin (sprich: zur "Dummheitselite" gehöre ich bestimmt nicht; nur war Mathe nie meine Stärke), bin aber nach Lektüre des Artikels genau so schlau wie vorher. Das ist übrigens leider ein generelles Problem von vielen mathematischen Artikeln hier in der Wikipedia! Wäre schön, wenn sich darum mal wer kümmern könnte. --Carbenium 08:17, 5. Jul 2004 (CEST)

Generell: Gegen die Unverständlichkeit mathematischer Artikel gibt es ein probates Mittel: Stelle auf der Diskussionsseite des jeweiligen Artikels konkrete Fragen - und ich möchte wetten, dass sich recht bald jemand bemüht, diese Fragen zu beantworten. Radikaler: lege im jeweiligen Artikel einen Absatz "naive Herleitung" oder "anschauliche Definition" oder "XY in der Ingenieurmathematik" an, tippe einfach mal ein, was Du von der Sache in erster Näherung schon verstanden hast, und ich wette wiederum, dass nette Menschen Deinen Ansatz aufgreifen und ausarbeiten werden.

Speziell zu Tensor: Dieser Begriff ist so schwer zu erklären, weil er in ganz unterschiedlichen Anwendungen in ganz unterschiedlicher mathematischer Tiefe eingeführt wird. Ich versuche hier etwas Konsistentes zu schaffen, während in der englischen Wikipädie an mehreren Tensor-Artikeln parallel gearbeitet wird. Bin aber selber mit dem bisher Geschriebenen noch nicht zufrieden. Auch hier kann ich Dir

nur antworten: Stelle konkrete Fragen, kritisiere konkrete Teile des existierenden Textes, liefere Rohmaterial zu. -- Weialawaga 08:58, 5. Jul 2004 (CEST)

Im Prinzip stimme ich der Forderung nach Allgemeinverständlichkeit zu, aber es ist schwierig, dies einfach zu formulieren, ohne sich zunächst der Details bewusst zu werden. Was ich gerne hätte wäre eine Art objektorientierte Vorgehensweise, bei der Themen sowohl verallgemeinert als auch weiter spezialisiert werden können. Allerdings weiss ich momentan nicht, wie man das realisieren könnte. Eine nur allgemeinverständliche Beschreibung eines Sachverhaltes kann auch ziemlich langweilig sein, wenn man nach einem Verständnis des Begriffes sucht. Wichtig ist auch, dass das Geschriebene begründet wird, sonst kann ein Leser den Text glauben oder auch nicht. Den Abschnitt über Tensor-Würfel verstehe ich z.B. überhaupt nicht.

Gruss WoSa

[Bearbeiten] Gabelung der Begriffswelten

Interessant finde ich den Abschnitt zur Gabelung der Begriffswelten. Das ganze ist mir schon früher aufgefallen, und ich habe mich schon öfter gefragt warum das eigentlich so ist. Man sollte meiner Meinung nach aber die Schuld nicht alleine bei den Ingenieuren und Physikern suchen, letztendlich sind auch die Mathematiker für die Akzeptanz ihrer Begriffsstrukturen verantwortlich, und viele der Begriffe, die in der "modernen" Differentialgeometrie Verwendung finden, wurden bereits 1930 von Wheeler eingeführt. Warum gibt es innerhalb der letzten 70+ Jahre dafür keine Akzeptanz in weiten Teilen der theoretischen Physik? Liest man das Buch von Straumann, so sehen viele der detaillierteren Rechnungen auch nicht anders als bei Fliessbach aus, und letzterer benutzt ausschließlich die "veraltete Terminologie". Zur Zeit von Newton war es so, dass er die Mathematik zur Lösung seiner Probleme gleich mitenwickeln mußte.

Vielleicht eignet sich ein etwas unpräziserer Formalismus auch eher zur Anpassung an neu auftauchende Problemstellungen, als wenn eine Modifizierung der axiomatischen Grundlagen vorgenommen werden muss, z.B. habe ich viele der in der Allgemeinen Relativitätshteorie verwendeten Formalismen in einem Seminar über Hadronen wiedergefunden.

Dass ein höherer Abstraktionsgrad in der Mathematik allein zu einem besseren Naturverständnis führt, glaube ich nicht. In der Riemannschen Geometrie gibt es z.B. keine Nullgeodäten, die brauchte Einstein aber zur Klassifizierung von Lichtstrahlen.

[Bearbeiten] TeXurierung

So Leute, ich habe versucht alles was noch ging von HTML auf TeX zu schreiben. Ich bitte um Wikifizierung. Ich hoffe es sind keine Fehler passiert, ist ja nie auszuschließen... Tom1200 00:31, 23. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Generelle Überarbeitung dringend notwendig

Warum wirft niemand mal einen Blick auf die englischsprache Version von Wikipedia? http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor Dort ist für meinen Geschmack das gelungen, was hier kritisiert wurde. Vielleicht sollte man ausgehend von der englischsprachigen Fassung einen neuen Anlauf nehmen. Nur so einen Idee --Ralf Scholze

Dort hat man es halt aufgegeben, einen einzelnen Artikel zu schreiben, sondern jede Disziplin darf sich in einem eigenen austoben. MMn sind derzeit die Physiker am Zug, das Chaos aufzuräumen, das ein gewisser Benutzer in dem Abschnitt vor einiger Zeit angerichtet hat (Stichwort Bidualräume).--Gunther 23:09, 22. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Der doppelte Artikel "Vergleich von Tensordefinitionen"

[Bearbeiten] Beseitigung der Redundanz

Vergleich von Tensordefinitionen könnte man unter Metrischer Tensor einfügen, da der Artikel nur den unterschiedlichen Gebrauch von Definitionen des Metrischen Tensors miteinander vergleicht.

Gruss WoSa 20:10, 14. Nov 2004 (CET)

Vergleich von Tensordefinitionen kann vielleicht nach Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie integriert werden und ist ansonsten verzichtbar.--Gunther 14:38, 27. Feb 2005 (CET)

[Bearbeiten] Kritik aus mathematischer Sicht

kovariant/kontravariant: Ein Vektor als geometrisches Objekt transformiert sich immer mit den Basisvektoren, was gemeint ist, ist der Spaltenvektor der Koordinaten, welcher sich, bei gleichbleibendem Vektor, entgegen der Basistransformation transformiert.

Das Skalarprodukt mit einem Punkt zu bezeichnen ist veraltet und mißverständlich.

Das Differential ist die Jacobi-Matrix der Ableitungen, also das ursprüngliche Objekt. Es ist die 1-Form, die einem Vektor seine Richtungsableitung zuordnet. Der Gradient ist der mittels Metrik aus dem Differential gewonnene Vektor. Der Unterschied von Differential und Gradient, der in der invertierten Metrik-Matrix besteht, ist in der allgemeinen Relativitätstheorie und generell auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten immens wichtig.

In der Differentialgeometrie zählen nicht nur Differentialformen, so ist das bewegte Dreibein bzw. Cartans "Moving Frame" ein Tupel von Tangentialvektoren, ebenfalls wichtig sind Vektorfelder, u.a. auch Gradientenfelder, für dynamische Systeme und in der Differentialtopologie.

--LutzL 18:40, 13. Dez 2004 (CET)

[Bearbeiten] Tensordefinition

ich hab da zwar nicht so viel ahnung, aber wie kann man einen tensor definieren als objekt, das invariant gegenüber koordinatentransformationen ist, und gleichzeitig vektoren als tensor bezeichnen. vektoren sind ja gerade *nicht* invariant. sehe ich das falsch?

Das siehst Du falsch. Beispiel: Im Raum, der Dich gerade umgibt, gibt es eine Richtung "oben". Wenn Du zu dieser Richtung noch eine Länge wählst, erhältst Du einen Vektor. Egal, wie Du jetzt ein Koordinatensystem wählst, der Vektor ist immer derselbe, nur seine Koordinatendarstellung hängt vom Koordinatensystem ab.--Gunther 16:20, 28. Mai 2005 (CEST)

das heißt: koordinatentrafos sind eigentlich koordinatendarstellungstrafos? danke!

Das wiederum hängt von der Sichtweise ab. Man kann sagen, ein Satz Koordinaten definiert in erster Linie eine Darstellung des Vektorraums. Dann sind Koordinatentransformationen Änderungen der Darstellung des Vektorraums. Oder man sieht die Koordinaten in erster Linie als lineare Funktionale an, dann wäre Koordinatendarstellungstransformation als Begriff angebracht.--LutzL 08:25, 1. Jun 2005 (CEST)

Na ja, ich würde sagen, dass Gunther das schon sehr gut erklärt hat. Jeder Vektor eines Vektorraums kann in jeder beliebigen Basis des Vektorraums durch einen Satz von Koordinaten dargestellt werden, d.h. v=ei*xi. Dabei wird über i summiert. ei für i = 1,..., n stellen Basisvektoren dar. n ist die Dimension des Vektorraums. xi sind die sogenannten Koordinaten. Die Koordinaten sind keine Vektoren des Vektorraums sondern Skalare. Wenn der Vektor v in einer anderen Basis ei' dargestellt werden soll, so transformieren sich die Basisvektoren ei->ei' (Basistransformation) und die Koordinaten xi->xi' (Koordinatentransformation) und zwar so, dass der Vektor v unverändert bleibt.-- Kilian Klaiber 21:50, 1. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] "Unsymmetrische" Tensoren höherer Stufe

Moin, bei der Datenauswertung aus einem GPS-Gerät, bot es sich mir an, die Informationen in einem Datenfeld der Dimension 3x4x4 anzuordnen. Da beim Tensor dritter Stufe auch die Rede von Videosequenzen ist, wollte ich fragen, ob es zulässig ist solch eine "unsymmetrische" 3x4x4-Matrix ebenfalls als Tensor dritter Stufe darzustellen, weil er ja eigentlich nicht kubisch ist? --DB1BMN 22:13, 26. Nov 2005 (CET)

Hi, was Du hast, ist ein Tupel mit 3 Indizes (2 explizit, ein "Bezeichnungsindex"). Man darf es aber gerne als Tensor bezeichnen. Insbesondere, wenn es irgendwelche Invarianzen oder sonstige Gesetze bei Transformation in andere Bezugssysteme gibt. --LutzL 11:31, 28. Nov 2005 (CET)

Ah sehr schön, dankeschön. Wollte nur wissen ob es zulässig ist, solch ein Gebilde als Tensor zu bezeichnen. Ob es invariant etc. ist weiß ich nicht und brauch ich wohl auch nicht, es ist ja einfach nur eine Methode der Speicherorganisation. Beste Grüße, --DB1BMN 12:54, 28. Nov 2005 (CET)

[Bearbeiten] Wirrwarr

Hallo zusammen, dieser Artikel ist ein absolutes Wirrwarr. Das einzig Sinnvolle, was man ihm entnehmen kann, ist die Einführung (bis einschließlich des Abschnitts "Anwendungen") und der Hinweis auf das Buch von Levi-Civita. Ich schreibe gerade an einer Einführung zur Tensorrechnung für meine Kommilitonen, vll. setze ich mich mal an eine Artikelneufassung, wenn ich fertig bin. Könnte aber noch bis Mitte nächsten Jahres dauern ;) Zwischenzeitlich empfehle ich das Buch "Vektoren, Tensoren, Spinoren" von Siegfried Kästner, und (für die Webenthusiasten) auch das Skript von Wolfgang Ebenhöh (http://www.icbm.de/~ebenhoeh/tens_k1.pdf). Nichts für ungut, aber sowas schreckt einfach nur ab.

Du solltest noch erwähnen, "woher Du kommst". Eines der Hauptprobleme dieses Artikels besteht ja darin, dass ein Physiker sich unter einem Tensor etwas völlig anderes vorstellt als ein Mathematiker, obwohl es sich um dasselbe Objekt handelt. Der "Physiker"-Abschnitt ist momentan mMn ziemlich schlecht, weil da jemand päpstlicher als der Papst sein und zwischen Raum und Bidualraum unterscheiden wollte. Den mathematischen Teil habe ich vor einiger Zeit mal etwas überarbeitet und die technischen Teile nach Tensorprodukt ausgelagert, aber so grundsätzlich bin ich mit diesem Teil eigentlich nicht unglücklich; ich denke, man muss mit Tensoren umgehen, um sie wirklich begreifen zu können.--Gunther 11:57, 21. Dez 2005 (CET)

Ich studiere Physik und will ab nächstem Jahr als obligatorisches Nebenfach Mathematik belegen. Für mich ist ein Tensor eine multilineare Abbildung des kartesischen Produktes von K-Vektorräumen V_1 bis V_k in den Körper K. Physiker lassen dann auch nur einen festen Vektorraum und dessen Dualraum als Kandidaten zu, aber das muß ja nicht ausschließlich gelten. Die ganze Betrachtung in Bezug auf eine feste Basis dieses Vektorraums, das Transformationsverhalten bei Basiswechsel folgt dann, ist aber erstmal nicht wesentlich. Unter "Tensorbegriff der Mathematik" steht dann aber, daß erst der Dualraum des Tensorprodukts - dessen Elemente Tensoren sind - isomorph zum Raum der multilinearen Abbildungen ist. Dies ist schon verwirrend.

Aber ganz davon abgesehen, ist mMn der Artikel unübersichtlich, wiederholt sich und verwirrt einen Leser. Ich will nichts gegen die fachliche Darstellung sagen, da ich mich da noch nicht so gut auskenne, und auch deine Mühe bei der Bearbeitung nicht schmälern. Aber nimm z.B. den Artikel "Funktional". Der Begriff eines Funktionals ist sicherlich etwas einfacher zu verstehen als der Begriff eines Tensors, aber in diesem Artikel gibt es eine Aufbauhierarchie: Definition, Beispiele, Spezialfälle, schwierigere Sachen. Das fehlt mir an diesem Tensorartikel und ist auch der Grund, warum er als Wirrwarr erscheint.

Noch ein kurzer Nachtrag: ich habe mir eben mal den Artikel über Tensorprodukte durchgelesen, von dem bin ich letztens noch zu Tensor weitergeleitet worden. Das ist auch ein übersichtlicher und verständlicher Artikel, der gefällt mir auch sehr gut. So müßte der Artikel über Tensoren auch aussehen.

Der Grund dafür, dass der mathematische Teil Tensoren nicht als Multilinearformen definiert, besteht darin, dass Elemente von Tensorprodukten über allgemeineren Ringen eben keine Multilinearformen sind, sondern erst ihr Dualraum. Man will Tensorprodukte $A\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ bilden können, aber es gibt keine nichttrivialen Bilinearformen $A\times\mathbb Q\to\mathbb Z$ , weil es keine nichttrivialen Linearformen $\mathbb Q\to\mathbb Z$ gibt. Zusätzlich gibt es das Ko-/Kontravarianzproblem: Arbeitet man mit $\mathrm{Bilin}(V,W):=(V\otimes W)^*$ statt des Tensorproduktes, kann man das Analogon von $V\otimes W\otimes X$ nicht ohne zusätzliche Dualisierung ausdrücken (

Bilin(Bilin(V, W) *, X)

Und ich freue mich über jede Anregung zu dem Artikel, nimm' also bitte kein Blatt vor den Mund :-) --Gunther 00:34, 23. Dez 2005 (CET)

Bitte schau auch mal nach Indexdarstellungen der Relativitätstheorie, das wollte ich mal zu "Tensordarstellungen .." ausbauen, hab' aber ein Zeitproblem. Als ich das letzte mal intensiv diesen Tensorartikel bearbeitet habe, war er unübersichtlich und lang. Jetzt ist der Physikteil einfach nur noch grausam, der Matheteil, naja, zumindest leicht ungeordnet. Was sucht das Tensorprodukt am Ende, wenn es schon zur Definition benutzt wird? Wie gesagt, keine Zeit für große Aufräumarbeiten.--LutzL 12:29, 23. Dez 2005 (CET)

Dann sprechen Mathematiker und Physiker aber doch von zwei verschiedenen Sachen, wenn sie Tensoren sagen. Deine Argumentation ist auch verständlich. Heißt das dann, daß im Falle, daß die verwendeten Vektorräume über einem Körper definiert sind, Tensorprodukt und Dualraum isomorph sind? Das wäre doch eine Aussage, die unbedingt in den Artikel gehören würde. Oder verwechsle ich da etwas Grundsätzliches?(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.184.228.181 (Diskussion • Beiträge) LutzL 13:49, 23. Dez 2005 (CET))

Nein, es ist das gleiche, nur eine andere Betrachtungsweise. Und die Physiker haben ein leichtes Problem, wenn Raum und Spin verheiratet wird. Ansonsten sollte die Äquivalenz der Begriffe im endlichdimensionalen leicht einzusehen sein. Die Komplikationen stammen daher, dass man auch Tensorprodukte von normierten unendlichdimensionalen Vektorräumen betrachten möchte. Das passiert bei den Physikern spätestens dann, wenn der Fock-Raum konstruiert wird. Und spätestens bei der Konstruktion von Operatoralgebren in der Quantenfeldtheorie wird es hochgradig mysteriös. Das Tensorprodukt ist der duale Vektorraum zum Raum der bilinearen Funktionen.--LutzL 13:49, 23. Dez 2005 (CET)

Jetzt hast du mich doch durcheinandergebracht, trotzdem ich in der Zwischenzeit nochmal im Netz nach Skripten geschaut habe. Ich habe sowohl gefunden als auch im Artikel gelesen, daß der Raum der Multilinearformen der Dualraum zum Tensorprodukt ist, und nicht umgekehrt.

Und egal, was nun dual zu wem ist, sind Tensoren der Mathematiker und Tensoren der Physiker dann doch zwei unterschiedliche Sachen! Sie können miteinander identifiziert werden, ja, das habe ich verstanden. Aber Identifikation ist keine Gleichheit, und gerade bei einem solchen Thema sollte man - der Verständlichkeit halber - doch diese Klarstellung zumindest einmal deutlich betonen. R^(nxn) kann auch mit R^(n^2) identifiziert werden, aber beide sind nicht identisch. Wenn du mir dies bestätigen würdest, könnte ich denken, daß ich das Konzept verstanden habe. Und ich habe auch schon gemerkt, daß Physiker sich gern mal auf mathematisch unsicheres Land wagen. 84.184.237.147 00:02, 24. Dez 2005 (CET)

"Miteinander identifiziert werden können" ist oft genausogut wie Gleichheit (eine der möglichen mathematischen Präzisierungen ist ein natürlicher Isomorphismus, siehe Kategorientheorie). Bei endlichdimensionalen Vektorräumen muss man deshalb zwischen Raum und Bidualraum nicht unterscheiden, also ist bei zwei Vektorräumen egal, welcher der Dualraum des anderen ist. Verallgemeinerungsfähig ist die Aussage, dass die Bilinearformen der Dualraum des Tensorproduktes sind und nicht umgekehrt.--Gunther 00:58, 25. Dez 2005 (CET)

Alles i.O., jetzt ist mir das ganze Thema doch etwas klarer geworden. Ich habe mich mal der Abschnitte zum physikalischen Tensor (Tensorbegriff der Physik bis einschließlich ko- und kontravariante Tensoren) angenommen. Wenn ihr an dieser Fassung nichts auszusetzen habt, könnte man das einfügen (natürlich noch verlinken, TeX und so).

In der Physik werden, wie im Abschnitt "Tensorprodukte und Multilinearformen" erklärt, die mathematischen Tensoren mit den ihnen zugeordneten Multilinearformen identifiziert. Der physikalische Zugang ist dabei ein sehr pragmatischer, in dem die Handhabbarkeit der Tensoren und deren physikalische Deutung im Vordergrund steht. Im Folgenden werden daher die Multilinearen Abbildungen selbst als Tensoren bezeichnet. Tensoren im physikalischen Sinne sind also multilineare Abbildungen vom kartesischen Produkt mehrerer Vektorräume in den zugrundeliegenden Skalarkörper. Dabei sind nur ein fester Vektorraum V (z.B. der R^3) und sein Dualraum V* zugelassen. Ein Tensor T:Vx...xV x V*x...xV* -> K heißt r-fach kovariant und q-fach kontravariant, oder kurz (r,q)-Tensor. Diese Begriffe haben mit Koordinatentransformationen zu tun und werden später noch erläutert. Die Stufe dieses Tensors ist einfach r+q.

Einfache Tensoren

Ein (0,0)-Tensor ist eine lineare Abbildung "ohne Argumente". Sie kann also nur einen einzigen Wert haben, und wird daher mit einem Skalar identifiziert. (0,0)-Tensoren "sind" Skalare. Ein (0,1)-Tensor ist eine lineare Abbildung vom Dualraum in den Körper, also ein Element des Bidualraums. Da im Endlichdimensionalen der Bidualraum mit dem Vektorraum selbst identifiziert werden kann, "sind" (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums, also Vektoren. Ein (1,0)-Tensor ist eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Körper, also ein Element des Dualraums, welches auch als Linearform bezeichnet wird.

Koordinatendarstellung

Ein Tensor beschreibt eine physikalische Realität. Diese ist natürlich unabhängig von einem gewählten Koordinatensystem. Oft ist es jedoch zweckmäßig, die Komponenten eines Tensors in Bezug auf ein festgelegtes Koordinatensystem (z.B. das kartesische Koordinatensystem) zu berechnen und dann nur mit diesem Komponenten zu rechnen. Bei einem Wechsel des Koordinaten- oder Bezugssystems werden sich dann auch diese Komponenten ändern müssen, da die Physik, also der Tensor an sich, ja gleich bleiben muss. Dies versteht man unter dem Transformationsverhalten des Tensors, obwohl damit eigentlich die Transformation der Komponenten gemeint ist.

Legen wir eine Basis des Vektorraums e_i fest, so gibt es dazu eine entsprechende Basis des Dualraums \beta^j, die durch \beta^j(e_i)=delta^j_i eindeutig bestimmt ist. In diesem Zusammenhang sei auf folgende Konventionen hingewiesen: -Elemente aus dem Vektorraum heißen kovariant, sie besitzen untere Indizes -Elemente aus dem Dualraum heißen kontravariant, sie besitzen obere Indizes -die Einsteinsche Summationskonvention: über doppelt vorkommende Indizes, von denen einer unten und einer oben stehen muß, wird automatisch summiert, ohne daß dies explizit gesagt wird -auf beiden Seiten einer Gleichung müssen die selben Indizes vorkommen, und auch in der selben Position

Mit diesen Festlegungen kann man jeden Vektor (also einen (0,1)-Tensor) aus dem Vektorraum folgendermaßen schreiben:

vec(v) = v^i e_i

Die v^i stellen die kontravarianten Komponenten des Vektors bezüglich der kovarianten Basis e_i dar. Hier beginnt spätestens in der Welt der Physiker die babylonische Sprachverwirrung: Die Basis e_i ist kovariant: sie besitzt untere Indizes und ist ein Element des Vektorraums. Die Komponenten sind kontravariant, sie besitzen obere Indizes. Der Vektor vec(v) selber ist auch ein Element des Vektorraums, müßte also auch eine kovariante Größe sein. Da man aber meist nur mit den Komponenten rechnet, setzt man den Vektor vec(v) mit seinen Komponenten v^i gleich und spricht dann von einem kontravarianten Vektor, was auch mit der Bezeichnung eines (0,1)-Tensors als einfach kontravariantem Tensor übereinstimmt.

Analog läßt sich jede Linearform (ein (1,0)-Tensor) aus dem Dualraum schreiben als:

\gamma = g_i \beta^i

Die g_i stellen die kovarianten Komponenten der Linearform bezüglich der kontravarianten Basis \beta^i dar. \gamma selbst wird wieder oft mit den Komponenten g_i gleichgesetzt und als kovariant bezeichnet, obwohl es eigentlich ein Element des Dualraums ist und somit kontravariant heißen müßte.

Könnte man so machen. Aber ich bin kein Physiker, hatte Physik nur als Nebenfach. a) Ich finde die einleitende Bemerkung zu den Multilinearformen etwas unklar. Entspricht das wirklich dem Gebrauch in der Physik? b) Wenn man Physikern ihre Tensoren erklärt, gehört die Konvention der oben- und untenstehenden Indizes erläutert. Diese können auch gemischt vorkommen, was mit der ansatzweisen Erläuterung im Vorschlag nicht erfasst ist. Insgesamt ist die Physik-Darstellung zu sehr Stufe-1-lastig. Interessante Beispiele beginnen aber erst ab Stufe 3, weil Stufe 2 auch als Matrix noch gut darstellbar ist.--LutzL 13:34, 29. Dez 2005 (CET)

Nun, die Resonanz auf den Tensorbegriff der Physik ist offensichtlich deutlich größer als auf den mathematischen Abschnitt dieses Artikels. Das freut mich. Das Wirrwarr scheint sich auch nach Lektüre des physikalischen Abschnitts aufgelöst zu haben, denn der Autor hat den physikalischen Tensorbegriff treffend erklärt. Ach ja, Lutzl, wenn du in einem Einführungsartikel zunächst die komplizierten Begriffe (Tensor der Stufe 3) einführst, bevor du Dich mit den einfacheren Begriffen (Tensor der Stufe 0 und 1) ausführlich beschäftigst, sorgst Du mit Sicherheit dafür, dass der Leser nichts versteht. Möglicherweise erfüllt Dich der mathematische Abschnitt mit höherer Befriedigung, aber Du erreichst offenbar keine Leser damit. Gruß --Kilian Klaiber 16:30, 20. Jan 2006 (CET)

Interessante Interpretation, denn die IP hat ja oben vorgeschlagen, den Physik-Abschnitt zu ersetzen.--Gunther 16:44, 20. Jan 2006 (CET)+

Hallo Gunther, ich wollte mich einfach mal wieder melden. Schön, dass ich so schnell eine Reaktion bekommen habe. Inhaltlich kann ich dem obigen Beitrag nur zustimmen. IMHO fügt der Beitrag dem bestehenden physikalischen Artikel nichts neues hinzu. Man kann an dem Beitrag recht genau verfolgen, was der Autor tatsächlich gelesen hat. Er schreibt nämlich: "Das einzig Sinnvolle, was man ihm entnehmen kann, ist die Einführung (bis einschließlich des bschnitts "Anwendungen") und der Hinweis auf das Buch von Levi-Civita." Darauf folgt nämlich der mathematische Abschnitt. Den hat er nicht gelesen, weil er ihm nicht sinnvoll erschien. Den Inhalt des physikalischen Artikels hat der Autor oben gut zusammengefasst. Zu dem mathematischen Abschnitt wollte er sich offenbar gar nicht äußern. Insofern interessant, ich gebe Dir recht. Gruß --84.151.164.177 16:57, 20. Jan 2006 (CET)#

Ach ja besonder gefreut hat mich folgendes Zitat: "Alles i.O., jetzt ist mir das ganze Thema doch etwas klarer geworden. Ich habe mich mal der Abschnitte zum physikalischen Tensor (Tensorbegriff der Physik bis einschließlich ko- und kontravariante Tensoren) angenommen." --84.151.164.177 17:09, 20. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Tensoren, die aus Vektoren und linearen Abbildungen aufgebaut sind

...das aus Vektoren und/oder linearen Abbildungen aufgebaut ist. ??? Was soll das bedeuten? Das ist meiner Meinung nach absoluter Schwachsinn. Löschen wir das oder schreiben wir es zumindest um? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Wendigo (Diskussion • Beiträge) 10:03, 4. Jun 2006)

Ich nehme an, dass das eigentlich "aus Vektoren und Linearformen aufgebaut ist" heißen soll und darauf anspielt, dass man jeden Tensor als Summe von Ausdrücken der Form $v_1\otimes\ldots\otimes v_r\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_s$ mit Vektoren

v i

und Linearformen

λ i

schreiben kann.--Gunther 10:57, 6. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Quaternionische Tensoren

Hi, ich beschäftige mich derzeit intensiv mit Tensoren und habe eine Frage diesbezüglich: Wenn man sich einen Raum aus drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension vorstellt, wird dieser am besten in quaternionischer Schreibweise beschrieben. Hierbei sehe ich aber gleich zwei Möglichkeiten die Tensoralgebra mit den Quaternionen zu kombinieren:

Abbildung des dreidimensionalen Raumes auf eine Dyade und Beibehaltung der Zeit als komplexe, skalare Größe (10 Dimensionen).

$\left( t , \vec V \right) \mapsto \left( t , \mathbf{V}_{ij} \right)$
Abbildung des vierdimensionalen Raumes auf eine Dyade (16 Dimensionen):

$\left( t , \vec V \right) \mapsto \left( \mathbf{T}_{ij} \right)$

Beide Versionen scheinen für mich ihre Berechtigung zu haben und sind vermutlich sogar gleichwertig. Ich bitte die Physiker/Mathematiker um ein Kommentar ob ich dies richtig oder falsch sehe. — MovGP0 15:28, 3. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Tetrade

Beispiele für Tensoren
mit n Dimensionen
Tensor- Stufe	Darstellung	Name
0	Skalar	-
1	n-Vektor	(Monade)
2	n×n-Matrix	Dyade
3	n×n×n-Matrix	Triade
4	n×n×n×n-Matrix	Tetrade

@Gunther:
Ich verstehe nicht weshalb eine Tetrade etwas anderes sein soll - es ist lediglich nicht in dieser Form auf der Begriffsklärungsseite zu finden. Vermutlich habe ich hier einen Übersetzungsfehler, denn im Englischen heißt es korrekt "Monad", "Dyad", "Triad", "Tetrad", "Pentad", "Hexad", "Heptad", "Oktad", "Ennead", "Dekad", etc.. Zur Übersetzung ins Deutsche kommt aber afaik nur ein "e" als Postfix hinzu, da es sich ja um "Zahlenwörter" handelt. Wenn du eine richtigere Bezeichnung kennst, bitte ich um Aufklärung. Die Entfernung der Tabelle verstehe ich nicht. Ich habe sie als zusätzliche Übersicht für Laien eingeführt, da für mich der Text zu schwer zu erfassen war. (Ich bin selbst ein halber Laie, deshalb kann ich mich da vermutlich besser einfühlen) — MovGP0 13:37, 4. Sep 2006 (CEST)

Siehe Link im Bearbeitungskommentar: [1] In der Mathematik würde man von (4,0)- oder (3,1)- oder usw. -Tensoren sprechen.--Gunther 13:49, 4. Sep 2006 (CEST)

kann man natürlich auc machen - aber im Wesentlichen handelt es sich um nichts weiter als einen Namen für mehrere Dinge - also ein typischer Fall einer Begriffsklärung:

Tetrade (Tensor)
Tetrade (Relativitätstheorie)

Ich sehe also kein Problem.

Btw.: mit (4,0)-Tensor meinst du vermutlich einen vierdimensionalen skalaren Tensor und mit (3,1)-Tensor vermutlich eine dreidimensionale Dyade. Mit der entsprechenden Erklärung im Artikel kann ich nämlich, vermutlich mangels Mathematikstudium, exakt null anfangen.

— MovGP0 14:01, 4. Sep 2006 (CEST)

Wer sagt denn überhaupt Tetrade, wenn weder Mathematiker noch Physiker das tun?

Und was ein "skalarer Tensor" sein soll, ist mir schleierhaft. Ein (r,s)-Tensor ist etwas, bei dem "r Vektoren hineingehen und s herauskommen". (1,1)-Tensoren sind gewissermaßen schiefe Proportionalitätsfaktoren wie die Permeabilität, die aus einer vektoriellen Größe eine andere vektorielle Größe machen, die aber im Unterschied zu einem skalaren Zusammenhang nicht in dieselbe Richtung zeigen müssen. (2,0)-Tensoren beschreiben quadratische Zusammenhänge, die aber richtungsabhängig sind, wie im Fall des Trägheitstensors. Ein Vektor geht hier zweimal hinein, und null Vektoren = ein Skalar kommt heraus. Man könnte da so eine nette Vergleichstabelle machen: skalar/tensoriell gegen (1,1)/(2,0) mit den genannten Beispielen für die Tensoren und beispielsweise $\vec F=m\vec a$ und $E_\mathrm{kin}=\frac12mv^2$ als Beispiele für Skalare. Der ganze Koordinaten- und Formelwust könnte dann danach kommen.--Gunther 15:12, 4. Sep 2006 (CEST)

Den Begriff habe ich vom Physiker "Joseph C. Kolecki" gelernt. Er verwendet den Begriff "Tetrad" z. B. in diesem Artikel (Seite 13; erster Absatz). Es handelt sich, wenn man es logisch betrachtet, ganz einfach um Griechische Zahlwörter und nicht etwa um spezielle Bezeichungen. Deshalb müsste man etwa "Dyade" wörtlich mit "Zwei-Einheit" übersetzen.

Die (x,y)-Tensoren nehm ich wieder raus bis ich es verstanden habe. Deine Vergleichstabelle könnte dabei helfen - mach eine. — MovGP0 15:31, 4. Sep 2006 (CEST)

"Tetrad" kommt in diesem Text nur einmal in Anführungszeichen vor, und die Begriffe beziehen sich meiner Interpretation nach ausschließlich auf Tensoren der Form $U_1\otimes\ldots\otimes U_n$ , wobei

n

die Stufe ("rank") des Tensors ist.--Gunther 15:46, 4. Sep 2006 (CEST)

Lesen, nicht überfliegen:

If we form a “tetrad,” its components comprise a tensor of rank 4.

was du meinst ist die "n-ade" zwei Absätze weiter unten *g*. — MovGP0 15:50, 4. Sep 2006 (CEST)

Nein, das bezieht sich auf Dyaden, Triaden, "Tetraden" und "n-aden" gleichermaßen. Ich finde keine Stelle, an der gesagt wird, dass Summen dieser Objekte wieder so genannt werden. Dyaden scheinen auch in diesem Text nur Produkte

U V

mit Vektoren

U, V

zu sein.--Gunther 16:11, 4. Sep 2006 (CEST)

Der Autor definiert den Ausdruck $\mathbf{U}\,\mathbf{V}$ als Kurzform für $\mathbf{U} \otimes \mathbf{V}$ . — MovGP0 17:04, 4. Sep 2006 (CEST)

Ja, schon, aber nicht jeder Tensor der Stufe 2 lässt sich so schreiben. Darum geht es doch die ganze Zeit.--Gunther 17:11, 4. Sep 2006 (CEST)

P.S. Mir ist schleierhaft, was der Autor mit dem folgenden Satz sagen will: Therefore, we conclude that the direction of B must be independent of the direction of H. (S. 8) Die Schlussfolgerung, die ich dort erwarten würde, nämlich dass die Permeabilität eben nicht durch eine Dyade darstellbar ist, sehe ich jedenfalls nicht.--Gunther 16:13, 4. Sep 2006 (CEST)

Das sagt im Prinzip, dass die magnetischen Feldlinien im gegebenen Fall (richtungsabhängige Magnetisierbarkeit) vom Material in einer Weise abgelenkt werden, in der sie unabhängig von der Richtung von H sind (entlang der besten Magnetisierbarkeit). Gegenfrage: Wie würdest du die Permeabilität darstellen? — MovGP0 16:59, 4. Sep 2006 (CEST)

Das ist physikalischer Blödsinn. Man muss beliebige Tensoren der Stufe 2 zulassen.--Gunther 17:10, 4. Sep 2006 (CEST)

Kannst du das in einem Beispiel verdeutlichen? — MovGP0 17:13, 4. Sep 2006 (CEST)

Vakuum. B und H zeigen immer in dieselbe Richtung, der Permeabilitätstensor ist

μ 0

mal der Einheitsmatrix, und letztere lässt sich nicht als Dyade schreiben (dyadische Produkte haben stets Rang $\leq1$ ).--Gunther 17:16, 4. Sep 2006 (CEST)

Es geht aber nicht um das Vakuum, sondern um spezielle Materialien mit richtungsabhängiger Magnetisierbarkeit. Im Fall des Vakuums kann man einfach den Skalar

μ 0

einsetzen. ~~Und ein Skalar lässt sich afaik mit einer Dyade darstellen.~~

$\underline{\mu} = \underline{\mu_r} \cdot \mu_0$

— MovGP0 17:23, 4. Sep 2006 (CEST)

Ich verstehe weshalb man einen Skalar nicht als Vektor schreiben kann: Ein Vektor ist Richtungsabhängig, ein Skalar nicht. Frage: Kann man aus dem selben Grund einen Skalar nicht als Dyade schreiben? — MovGP0 17:34, 4. Sep 2006 (CEST)

Wenn es nur isotrope Medien und Medien, in denen das B-Feld nur in einer Richtung zeigen kann, gäbe, dann wäre ein Ausdruck wie "highly anisotropic" sinnlos.

Weshalb man Skalare nicht als Dyade schreiben kann, ist eher eine philosophische Frage. Ein Argument hatte ich ja oben schon genannt: Als lineare Abbildungen aufgefasst sind dyadische Produkte Parallelprojektionen orthogonal zum einen Vektor mit einer Drehstreckung auf die Ursprungsgerade in Richtung des anderen Vektors, damit ist ihr Bild einfach zu klein. Daran sieht man auch, dass sie nicht richtungsunabhängig sein kann, "tiefere" Gründe fallen mir momentan aber nicht ein.--Gunther 17:55, 4. Sep 2006 (CEST)

Da hilft wohl nur eines: Rechnen. Ich hab die Struktur aus [2] entliehen und mit Pseudowerten gefüllt.

$\underline{\mu} = \mu_0 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0 & -i\,0{,}435 \\ 0 & 1 & 0 \\ i\,0{,}435 & 0 & 0{,}9 \end{pmatrix}$

Interessant scheinen mir die komplexen Anteile zu sein. Jetzt muss man das theoretische Material nur noch aus verschiedenen Winkeln magnetisch erregen. Ich habe aber derzeit keine Zeit um es zu rechnen. — MovGP0 06:05, 5. Sep 2006 (CEST)

Hab es mir beim Frühstück durch den Kopf gehen lassen. Die komplexen Anteile bewirken ja lediglich eine Phasenverschiebung. Wenn man H nun als Wellenfunktion betrachtet hat man den selben Effekt wie mit Licht, dass von Vakuum in Glas (optisch dichterer Körper) eindringt. Man kann das Beispiel also als Übergang von Vakuum in Eisen betrachten, welches aufgrund einer Phasenverschiebung das magnetische Feld vom Vakuum in das Eisen ablenkt. Ist aber bisher nur eine erste Vermutung - Das durchrechnen steht noch aus... — MovGP0 07:10, 5. Sep 2006 (CEST)

Ich denke, wir sollten uns nicht in physikalischen Details verlieren. Die Matrix hat offensichtlich Rang $\geq2$ , lässt sich also nicht als dyadisches Produkt schreiben. Es wäre nett, wenn Du die Tabelle selbst wieder entfernst.--Gunther 10:33, 5. Sep 2006 (CEST)

Was hat das eine mit dem anderen zu tun? Die Tabelle ist dazu da, die Namen und Repräsentation der Tensorstufen zu erläutern. Zum anderen geht es um die korrekte Repräsentation des Permeabilitätstensors. Wenn du mich zum Entfernen der Tabelle bringen willst musst du mich überzeugen, andernfalls wird nichts daraus, vor allem, da ich in der Tabelle den Sinn einer besseren Übersicht sehe. — MovGP0 17:41, 5. Sep 2006 (CEST)

Du warst bislang nicht dazu in der Lage, zu belegen, dass (1) die Begriffe Monade und Tetrade überhaupt in diesem Zusammenhang etabliert sind (die Anführungsstriche in der von Dir benannten Quelle belegen für mich eher das Gegenteil), und (2) dass "Dyade" synonym mit "Tensor der Stufe 2" verwendet wird; in der Quelle ist nur die Rede von Tensoren der Form $U\otimes V$ .--Gunther 17:50, 5. Sep 2006 (CEST)

Ich habe schon einige Tensor-Literatur gelesen und mir ist der Begriff Dyade dabei nur für Tensoren der Form $U\otimes V$ begegnet, nicht für allgemeine Tensoren der Stufe zwei. Auch die Bezeichnung von Zahlen-Arrays der Dimension größer zwei als Matrix halte ich für unüblich. Dass Du, MovGP0, den Artikel übersichtlicher und verständlicher machen willst, ist ja prinzipiell löblich, nur ist es leider kontraproduktiv, zu diesem Zweck Bezeichnungen einzuführen, die in dieser Form falsch bzw. völlig ungebräuchlich sind. --Thomas Schultz 18:39, 5. Sep 2006 (CEST)

Das ist doch mal eine Antwort - thx 2 Thomas - die Tabelle wurde entfernt. — MovGP0 19:43, 5. Sep 2006 (CEST)

Danke, Thomas. Kannst Du ihm dann auch gleich noch sagen, dass das mit der Permeabilität Unsinn ist, ich bin da anscheinend wenig überzeugend?--Gunther 21:28, 5. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Skalarprodukt vs Kreuzprodukt

In der Section "Grundrechnungsarten" steht, dass der Betrag des Kreuzprodukts aus zwei Vektoren gleich dem Betrag des Skalarprodukts ist. Wie bitte? Themel 16:56, 12. Okt. 2006 (CEST)

Ich habe den gesamten "Grundlagen"-Abschnitt rausgeworfen. Er basiert auf einer Quelle zweifelhafter Qualität mit sehr ungewöhnlicher Notation (s.o.). Die Beispielliste ist nicht wirklich hilfreich, weil überhaupt nicht klar ist, was daran "der Tensor" ist. Auch die Frage der Koordinatenunabhängigkeit ist irgendwo schief dargestellt, Vektoren sind nicht dasselbe wie Punkte im Raum, die Basispunktabhängigkeit ist nicht das Entscheidende bei Tensoren, weil sie typischerweise entweder nicht vom affinen Raum, sondern vom zugehörigen Vektorraum abhängen oder ohnehin Tensorfelder sind, so dass die einzelnen Tensoren zu einem festen Basispunkt gehören.--Gunther 17:08, 12. Okt. 2006 (CEST)

Nun gut, dass meine Quelle eine schlechte Qualität hat bzw. nicht richtig ist, lass ich mir einreden. Nicht-Desto-Trotz schlage ich in diesem Fall vor, dass du als Experte, mein lieber Gunther, versuchst den Artikel auch für Laien zugänglich zu machen. Zumindest würde das verhindern, dass ein Tensor-Noob wie ich irgend welchen Unsinn in den Artikel einbringt.

MovGP0 23:00, 27. Okt. 2006 (CEST)

Hab' mich an einer halbwegs nachvollziehbaren Einleitung zur Physik versucht.--Gunther 13:29, 1. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Tensoren im physikalischen Sinne als Multilinearformen

Tensoren $T$ sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$ :

Nicht einen Körper

K

sondern $\R$ , denn Überschrift lautet ""im physikalischen Sinne""--Ralf Scholze

Ich würde nicht soweit gehen und behaupten, dass Physiker den Körper $\mathbb{C}$ nicht kennen.--V4len 13:44, 4. Dez. 2006 (CET)

Manche Physiker kennen sogar den Schiefkörper der Quaternionen bzw. $\mathbb C\otimes_\R\mathbb H$ und betreiben damit Quantenelektrodynamik.--LutzL 20:09, 4. Dez. 2006 (CET)

Lutz, Du wirst lachen, die Quaternionen kennen auch die Mathematiker. Aber mal Scherz beiseite. Tensoren

T

sind multilineare Abbildungen in einen Körper

K

. Okay, nehmen wir als Körper $\mathbb{Q}$ . Ich beobachte hier ein wenig die Tendenz, die Artikel derart mit -- für das Verständnis nich unbedingt notwendigen -- Details anzufüttern, dass man quasi vor lauter Kraft nicht mehr laufen kann. Immerhin soll es sich ja hier nicht um ein mathematisches Lehrbuch, sondern um ein Online-Lexikon handeln. Mit anderen Worten, wenn $\mathbb{C}$ oder $\mathbb C\otimes_\R\mathbb H$ hier auftauchen sollen, dann an dieser Stelle konkrete Beispiele oder komplett weglassen. --Ralf Scholze 10:09, 5. Dez. 2006 (CET)

Moechte zur Aussage " Multilineare Abbildungen sind genau dann Tensoren, wenn jeder der Vektorräume entweder V * oder V ist." nur folgendes anmerken: I)Es muss eine gewisse Entartungsfreiheit gefordert werden, die mit der Dimensionsformel ( Produkt der Dimensionen der V und V* gleich Dimension des Tensorraumes ) einhergeht. Eine Multilinearform ist also im allgemeinen noch kein Tensor. II)Es mag in der Physik ueblich sein, nur V oder V* zu verwenden, fuer eine mathematisch saubere Definition ist lediglich ein gemeinsamer Skalarenkoerper noetig. Quelle: G.Fischer, Vieweg, 'lineare Allgebra'.--Eberhard Kriege 06:00, 3. Jan. 2007 (CET)

Hierzu einige Ergänzungen:

Jede multilineare Abbildung läßt sich als Tensor darstellen. So ist der Raum $\operatorname{Bil}(V,W;K)$ der bilinearen Abbildungen $f:V\times W\to K$ von $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ isomorph zu $V^*\otimes W^*$ .
Eine Entartungsfreiheit von bilinearen Abbildungen ist nicht notwendig. Die bilineare Nullabbildung etspricht dem entsprechenden 0-Tensor.

--V4len 10:14, 3. Jan. 2007 (CET)

[Bearbeiten] Tensororganisation (BWL)

Beim Lernen eines Management-Fachs, bin ich auf den Begriff "Tensororganisation" gestoßen.

Tensororganisation heißt, dass eine Organisation drei Dimensionen haben kann, z.B. divisional, also nach Produkten gegliedert, funktional, also nach Abteilungen und Funktionen gegliedert und regional, also geographisch gegliedert.

Wenn jemand Zeit hat, wäre es gut, auch diesen Begriff mit zu übernehmen.

Ich kann auch gerne mitschreiben, wenn wieder mehr Zeit ist...

Gruß,

Valerio

Ich denke, dass es sinnvoller wäre einen neuen Artikel Tensororganisation zu erstellen und evenuell auf den Artikel Tensor zu verweisen.

Wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob es wirklich irgend einen Zusammenhang gibt. Hierzu müsste man vielmehr ausarbeiten, inwieweit die verschiedenen Beschreibungen der Organisation durch Vektorräume beschrieben werden können. Ansonsten würde eine Verlinkung wahrscheinlich nicht zu mehr Klarheit führen--V4len 01:23, 26. Feb. 2007 (CET)

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/e/n/Diskussion%7ETensor_b492.html“