Tschebyschefffilter

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Elektronischer linearer Filter

Übertragungsfunktion eines Tschebyscheff-Filters vom Typ I.

Tschebyschefffilter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die auf ein möglichst scharfes Abknicken des Frequenzganges bei der Grenzfrequenz ausgelegt sind. Dafür verläuft die Verstärkung im Durchlassbereich oder im Sperrbereich nicht monoton, sondern besitzt eine festlegbare Welligkeit. Innerhalb einer Ordnung ist der Abfall umso steiler, je größer die zugelassene Welligkeit ist.

Es wird zwischen Tschebyschefffilter vom Typ I und vom Typ II unterschieden. Tschebyschefffilter vom Typ I besitzen im Durchlassbereich einen oszillierenden Verlauf der Übertragungsfunktion. Tschebyschefffilter vom Typ II besitzen die Welligkeit der Übertragungsfunktion im Sperrbereich.

[Bearbeiten] Übertragungsfunktion

Für den Bereich $0 \le x \le 1$ besitzen die Tschebyschow-Polynome $T n$ die gewünschten Eigenschaften. Für $x \ge 1$ wachsen die Tschebyschow-Polynome monoton.

Um mit Hilfe der Tschebyschow-Polynome einen Tiefpass herzustellen, setzt man

$\left|\underline{A}\right|^2 = \frac{k A_0^2}{1 + \epsilon ^2 T_n^2(P)}$

mit $k$ so gewählt, dass für x=0 $\left|\underline{A}\right|^2 = A_0^2$ wird $ε$ Maß der Welligkeit.

[Bearbeiten] Koeffizienten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die Form

$A[P] = \frac{A_0}{\prod_i (1 + a_i P + b_i P^2)}$

ergeben sich für die Koeffizienten $a i$ und $b i$ folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

$a_i^\prime = 2 b_i^\prime \sinh \gamma \cos \frac{(2 i - 1)pi}{2n}$

$b_i^\prime = \frac{1}{\cosh^2 \gamma - \cos^2 \frac{(2 i - 1)pi}{2n}}$

Ordnung n des Filters ungerade:

$a_1^\prime = \frac{1}{\sinh \gamma}$

$b_1^\prime = 0$

$a_i^\prime = 2 b_i^\prime \sinh \gamma \cos \frac{(i - 1)pi}{n}$

$b_i^\prime = \frac{1}{\cosh^2 \gamma - \cos^2 \frac{(i - 1)pi}{n}}$

Diese Koeffizienten sind so gewählt, dass die Grenzfrequenz $ω g$ auf die letzte Frequenz normiert ist, an der die gewählte Verstärkung das letzte Mal angenommen wird.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das Tschebyschow-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

welliger Frequenzverlauf je nach Typus im Durchlassbereich oder im Sperrbereich.
sehr steiles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung und der Welligkeit.
beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung und Welligkeit.
lässt man die Welligkeit gegen 0 gehen, geht das Tschebyschow-Filter in ein Butterworthfilter über.
keine konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich.

[Bearbeiten] Digitale Realisierung

Für eine digitale Realisierung des Tschebyschow-Filters transformiert man zunächst die einzelnen Biquads mittels bilinearer Transformation und kaskadiert diese mit den entsprechenden Koeffizienten $a i$ und $b i$ . Im folgenden ist dies für ein Tiefpassfilter mit gerader Ordnung n durchgeführt worden.

Die Z-Transformierte eines Biquads sieht generell wie folgt aus:

$S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}$ .