Benutzer:Yuszuv/Sandkasten

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Ein harmonischer Oszillator ist ein System, dessen Bestandteile eine harmonische Schwingung ausführen, d.h. die Zeitabhängigkeit ist sinusförmig. Eine solche Schwingung kann erzwungen sein oder frei zustande kommen.

Ein mechanisches Beispiel eines harmonischen Oszillators ist das Federpendel, bei dem eine Masse an einer hängenden Schraubenfeder so befestigt ist, dass Federkraft und Gewichtskraft einander ausgleichen und die Masse in Ruhe ist. Wird die Masse in Richtung der Federachse angestoßen, so schwingt sie frei und harmonisch. Dieses System schwingt nicht nur im Gravitationsfeld, sondern auch im gravitationsfreien Raum.

Weitere Beispiele sind das Fadenpendel, welches allerdings nur näherungsweise für kleine Ausschläge harmonisch schwingt und der elektrische Schwingkreis, in dem die Ladung harmonisch von einer Kondesatorplatte zur anderen "schwingt".

Das Modell des harmonischen Oszillators ist in der Physik von besonderem Interesse da es eines der wenigen Systeme ist, dessen Gleichungen sich exakt und nicht nur näherungsweise lösen lassen.

Inhaltsverzeichnis

1 Die harmonische und anharmonische Schwingung
2 Bedeutung der Bezeichnung harmonisch, anharmonisch
3 Physikalisch-mathematische Betrachtung
4 Siehe auch
5 Weblinks

[Bearbeiten] Die harmonische und anharmonische Schwingung

Der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung in einem Auslenkungs-Zeit-Diagramm

Das Federpendel zeigt genau den sinusförmigen Verlauf

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese Form der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung. Mit Dämpfung bleibt zwar die Frequenz immer noch unabhängig von der Amplitude und die Zeitabhängigkeit ist immer noch sinusförmig, jedoch wird sie von einer Exponentialfunktion überlagert. Äquivalent zu dieser Definition ist auch jene, dass eine harmonische Schwingung sich durch eine proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung wirkende "Rückstellkraft" auszeichnet (und durch keine Dämpfung).

Als Standardbeispiel dient oft das schon oben genannte Federpendel. Die sog. Eigenfrequenz $f 0$ , mit der das Federpendel schwingt, ist allein durch Materialeigenschaften gegeben, nämlich ist

$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ ,

wobei k die Federkonstante ist und m die an der Feder befestigte Masse ist. Insbesondere hängt sie also nicht von der Amplitude der Schwingung ab, diese kann man beliebig vorgeben.

Bei dem anderen Beispiel, das allerdings nur für kleine Ausschläge gilt, dem Fadenpendel, hängt die Frequenz von Länge des Fadens ab. Die Unabhängigkeit der Frequenz von der Amplitude wurde sogar genutzt, um früher den sog. katholischen Meter durch das Sekundenpendel zu definieren (tatsächlich wurde die schwache Amplitudenabhängigkeit durch eine Mechanik, das Steigrad konstant kompensiert). 1m wurde durch die Länge definiert, die der Faden eines Fadenpendels hat, das eine halbe Periodendauer von 1s hat.

Die meisten in der Natur vorkommenden Schwingungsphänomene sind jedoch anharmonisch. Beim Geigespielen wird z.B. die Saite mit den Bogen solange ausgelenkt bis die Rückstellkraft zu groß wird und die Saite schnell wieder zurückschwingt um danach wieder von dem Bogen mitgenommen zu werden, usw. In einem Diagramm würde man eine Zick-Zack-Linie erhalten. Auch das Rollen einer Kugel in einer Mulde ist anharmonisch, obwohl die Kugel immer wieder in die gleiche Höhe zurückschwingt.

[Bearbeiten] Bedeutung der Bezeichnung harmonisch, anharmonisch

Harmonisch ist eine Schwingung, wenn sie sinusförmig abläuft. Voraussetzung hierfür ist, dass auf die oszillierende Masse eine Kraft wirkt, die linear zur Auslenkung ist und stets zur Ruhelage des Oszillators hin gerichtet ist. Dies kehrt in der Bewegungs-/Differentialgleichung des Oszillators im linearen Auslenkungsterm

$D \cdot x$

wieder.
Eine harmonische Schwingung ist jedoch nicht mit einer symmetrischen Schwingung zu verwechseln. Zwar ist jede harmonische Schwingung auch symmetrisch, die Umkehrung (dass symmetrische Schwingungen harmonisch sind) ist jedoch falsch.
Anharmonische Schwingungen zeichnen sich durch einen nicht-linearen Auslenkungsterm

$D \cdot x^n \qquad n \neq 1$

aus.
Anmerkung zur Schreibweise: Da der Harmonische Oszillator eine zentrale Rolle in der theoretischen- und der Experimentalphysik spielt, wird das beschreibende Adjektiv harmonisch groß geschrieben, um dem harmonischen Oszillator somit einen bezeichnenden Eigennamen zu geben.

[Bearbeiten] Physikalisch-mathematische Betrachtung

[Bearbeiten] Allgemeine Differentialgleichung (DGL)

Ein (eindimensionaler, freier, ungedämpfter) Harmonischer Oszillator ist durch folgende Differentialgleichung definiert

$m \ddot{x} + k x = 0$

Bei dem Federpendel steht m dabei für die schwingende Masse und k für die Federkonstante. Bei elektrischen Schwingkreis ist für m die Induktivität der Spule und für k die Kapazität der Masse einzusetzen (und für x die Ladung).

[Bearbeiten] Potential eines freien Harmonischen Oszillators

Potenzialkurve eines harmonischen Oszillators

Da beim ungedämpften Harmonischen Oszillator die Energie erhalten und die Kraft nicht von der Geschwindigkeit abhängig ist, kann man Potential definieren, aus dem durch Ableiten die Kraft (mit umgedrehtem Vorzeichen) folgt. Man erhält ein für den harmonischen Oszillator typisches parabolischen Potential:

$U(x)=\,\int^x kx' \mathrm{d}x' = \frac{k}{2}x^2+C$

[Bearbeiten] klassische Mechanik

Die allgemeine Form des (ungedämpften) angetriebenen harmonischen Oszillators im endlich dimensionalen Fall ist:

$M\ddot\mathbf{x}(t) + K\mathbf{x}(t) = \mathbf{f}(t)$ ,

wobei $x,f\in\mathbb{R}^n$ n-dimensionale Vektoren sind und $M,K\in\mathbb{R}^{n\times n}$ lineare Abbildungen $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ sind. In Koordinatenschreibweise lautet sie also:

$\sum_{j=1}^n M_{ij}\ddot{x}_j(t) + K_{ij}x_j(t) = f_i(t),\qquad i=1,\ldots,n$ .

Dies sind n gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung, die i.A. gekoppelt sind. Eine Lösungsbasis wird aus 2n Funktionen bestehen. Zur eindeutigen Lösung sind also noch 2n Anfangsbedingungen vorzugeben. Im Folgenden werden die Gleichungen oft des einfachreren Rechnens wegen in den komplexen Zahlen gelöst. Eine physikalisch realisierbare Lösung ergibt sich dann aus Bildung des Realteils.

[Bearbeiten] Eindimensionaler, ungedämpfter, freier harmonischer Oszillator

Ein Federpendel als Beispiel für einen ungedämpften Oszillator

Dies ist der einfachste und anschaulichste Fall, der auch schon der Schule wichtig ist. Man geht nur Aufstellung der Bewegungsgleichung von den newtonschen Axiomen aus. Bei dem Federpendel findet man, wenn man das in der Einleitung motivierende beachtet:

$m\ddot x + kx= 0$

Beim Fadenpendel nimmt man z.B. den Ausschlagswinkel als Variable und findet für die rücktreibende Kraft, dass sie tangential zur Wegstrecke gerichtet ist. Für kleine Winkel ist sie proportional zum Ausschlagswinkel und so kommt man auf die Bewegungsgleichung, die von der Struktur der obigen ähnelt, nur sind jetzt m durch ml und k durch mg zu Ersetzen, wobei l die Länge des Pendels und g der Ortsfaktor ist. Die Koeffizienten müssen also nicht notwendigerweise die Einheit einer Masse bzw. einer Kraft pro Strecke haben. Die Lösung immer die Form:

$x(t) = A\sin(\omega t) +B\cos(\omega t),\qquad \omega^2=\frac{k}{m}$ .

Die Konstanten A und B sind dabei durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Wird der Oszillator zum Zeitpunkt 0 aus einer Auslenkung $α$ losgelassen, so wird A=0 und $B = α$ . Schwingt der Oszillator dagegen zum Zeitpunkt 0 mit einer Geschwindigkeit $β$ durch den Nullpunkt, so wird $A = β / ω$ und B=0. Sind sowohl Geschwindigkeit als auch Auslenkung ungleich 0, so sind auch A also auch B ungleich 0.

[Bearbeiten] Eindimensionaler, gedämpfter, freier harmonischer Oszillator

Bei gedämpften harmonischen Oszillator wird die Differentialgleichung noch nur einen in $\dot x$ linearen Term ergänzt. Dies kann zum Beispiel beim Federpendel die stokessche Reibung sein, muss aber nicht. Dadurch nimmt die Differentialgleichung die Form

$m\ddot x + 2\eta \dot x + k x = 0$

an. $ρ$ ist dabei immer positiv, da die Energie des System nicht zu-, sondern nur abnehmen kann. Mit dem Exponentialansatz $x (t) = e λ t$ findet man nach Auflösen der quadratischen Gleichung für $λ$ :

$\lambda_{1/2} = - \rho \pm \sqrt{\rho^2 - \omega_0^2},\qquad \rho=\frac{\eta}{m},\,\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ ,

wobei $ω 0$ die Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators ist. Jetzt sind folgende Fälle zu unterscheiden:

Schwache Dämpfung ( $ρ < ω 0$ )

Der Radikant ist negativ, man erhält also eine imaginäre Wurzel, die man auch $\mathrm{i}\hat\omega$ nennen kann. Die allgemeine Lösung ist dann:

$x(t) = \mathrm{e}^{-\rho t}\left(A\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\hat\omega t}+B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat\omega t}\right)$ .

Man erhält also eine mit einer gegenüber der Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators zu kleineren Werten verschobenen Frequenz "schwingende" Lösung, die von einer exponentiell abfallenden Funktion überlagert wird und mit $t \to \infty$ gegen 0 strebt, so wie man es erwarten würde.

Starke Dämpfung ( $ρ > ω 0$ )

Der Radikant ist positiv, aber erhält reele Wurzeln $\hat\omega$ . Die allgemeine Lösung lautet:

$x(t)=\mathrm{e}^{-\rho t}\left(A\mathrm{e}^{+\hat\omega t}+B\mathrm{e}^{-\hat\omega t}\right)$ .

Die positive Wurzel produziert einen exponentiell ansteigenden Term, der aber auch eine Lösung ist, weil der Term vor der Klammer dominiert und somit kein Anstieg aus dem Nichts zustande kommen kann. Hier erhält man keine schwingenden Lösungen. x nähert sich sehr schnell der 0.

Aperiodischer Grenzfall ( $ρ = ω 0$ )

Die Wurzel verschwindet und man erhält aus dem Exponentialansatz nur noch eine Lösung. Die zweite linear unabhängige Lösung kann man durch Erraten finden und erhält als allgemeine Lösung:

x (t) = (A + B t)e - ρ t

Auch hier gibt es keine schwingende Lösung, sondern x fällt ebenso wie bei der starken Dämpfung exponentiell ab. Dem aperiodischen Grenzfall entspricht ein Gütefaktor von Q = 0,5. Ein Beispiel für schwingende Systeme in diesem Zustand sind die Fahrwerke von Kraftfahrzeugen oder ähnliche gedämpfte Systeme.

[Bearbeiten] Harmonisch angetriebener, eindimenionaler, harmonischer Oszillator

Oft schwingt der Oszillator nicht frei, sondern aufgrund einer antreibenden Kraft. Das kann eine Kurbelwelle beim Federpendel oder Licht bei Molekülen in der Atmosphäre sein, die den Himmel blau scheinen lassen. Wenn die Kraft mit einer konstanten Frequenz $ω$ und Amplitude f antreibt, dann schreibt sich die Differentialgleichung als:

$\ddot x + 2\rho \dot x + \omega_0^2 x = f\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ .

Da man die Lösungen der homogenen Gleichung oben schon gefunden hat, sucht man noch eine spezielle Lösung dieser inhomogenen Gleichung. Da man entweder erwartet, dass das System nach einer gewissenen "Einschwingzeit" mit der antreibenden Frequenz $ω$ weiterschwingt oder man schon weiß, wie man eine beliebige antreibe Kraft mithilfe der Fouriertransformation berücksichtigt, wählt man für x den Ansatz $x (t) = A e iω t$ mit zunächst noch nicht festgelegter (komplexer) Amplitude A. Durch Einsetzen des Ansatzes erhält man die Gleichung:

$A(-\omega^2 + \mathrm{i}2\rho + \omega_0^2)=f$ .

Daraus kann man den Betrag und die Phase $δ$ der komplexen Zahl A berechnen, also die Amplitude, mit der der eingeschwungene Oszillator schwingt und Phase, um die die Amplitude des Schwingers der antreibenden Kraft voraus ist. Man erhält

$|A|^2 = \frac{f}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 +4\rho^2\omega^2},\qquad \tan(\delta) = \frac{2\rho\omega}{\omega^2-\omega_0^2}$ .

Man sieht also, dass die Amplitude besonders groß wird, wenn die antreibende Frequenz in die Nähe der Eigenfrequenz kommt, dieses Phänomen heißt Resonanz.Je kleiner die Dämpfung ist, desto größer kann die Amplitude werden. Die Phasendifferenz geht gegen 0, wenn $ω$ gegen 0 geht und für $\omega \to \infty$ strebt die Phasendifferenz gegen den Maximalwert von $- π$ . Der Übergang von kleinen zu großen Phasendifferenzen geht um so schneller, je kleiner die Dämpfung ist.

Die zeitliche Bewegungsdynamik eines harmonischen Oszillators bezeichnet man als harmonische Schwingung. Man erhält sie mathematisch als Lösung der zugehörigen newtonschen Bewegungsgleichung

$m \ddot x = -k x$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

x (t) = A sin(ω t)

wobei $A$ die Amplitude und $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ die Winkelgeschwindigkeit der harmonischen Schwingung ist.

Beispiele sind

das Federpendel
das Fadenpendel bei kleiner Auslenkung
das Zykloidenpendel

[Bearbeiten] N-dimensionaler, gekoppelter, freier harmonischer Oszillator

Ausgehend von der Lagrange-Funktion eines N-Teilchen-Systems mit f Freiheitsgraden und holonom-skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften, kann man dieses um seine Gleichgewichtspunkte entwickeln und erhält eine genäherte Lagrange-Funktion als quadratische Form:

$L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q}) = \frac{1}{2} \left( \sum_{i,j=1}^f M_{ij} \dot q_i \dot q_j - K_{ij} q_i q_j \right) = 0,\qquad M_{ij}=\sum_{k=1}^{N} m_k \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i} \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}|_{q=q_0},\, K_{ij} = \frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}|_{q=q_0}$ ,

wobei q_0 die Gleichgewichtslage des Systems in den generalisierten Koordinaten ist und die q_i die Auslenkungen aus dieser sind. Mithilfe des Lagrangeschen Bewegungsgleichungen erhält man daraus:

$M_{ij}\ddot q_j + K_{ij} q_j = 0,\qquad i=1,\ldots,f$ .

Macht man für den Vektor q den Ansatz $\mathbf{q}(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_\alpha t} \mathbf{v}_\alpha$ , so erhält man nach einsetzen in die Differentialgleichung das verallgemeinerte Eigenwert-Problem für die symmetrischen Matrizen M und K:

$(K - \omega_\alpha^2 M)\mathbf{v}_\alpha = 0$ .

Dieses löst man, indem man das charakteristische Polynom ausrechnet, dadurch die möglichen Quadrate der Eigenfrequenzen bekommt, die jeweils eine positive und eine negative Wurzel haben. Über die Quadrate der Eigenfrequenzen berechnet man die Eigenvektoren z.B. durch Bestimmung des Kerns der Abbildung. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann, wenn die Eigenwerte nicht entartet sind durch:

$\mathbf{q}(t) = \sum_{\alpha =1}^f \mathbf{v}_\alpha \left( a_\alpha^0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_\alpha t} + b_\alpha^0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_\alpha t} \right)$ .

Falls das Potential an der Stelle q_0 ein echtes Minimum hat, sind alle Eigenwerte echt größer als 0 und man erhält nur Schwingungen, sind eine oder mehrere Eigenfrequenzen gleich 0, so existieren Eigenvektoren $\mathbf{v}_\alpha$ für die $K \mathbf{v}_\alpha = 0$ , d.h. die Lagrange-Funktion ist invariant gegenüber Translationen in diese Richtung und aus dem Noether-Theorem folgt, dass die Komponente des (verallgemeinerten) Gesamtimpulses in diese Richtung eine Erhaltungsgröße ist. Man erhält also eine oder mehrere Translationsbewegungen.

[Bearbeiten] statistische Physik

In der statistischen Physik führen harmonische Potenziale auch zu exakt lösbaren Modellen. Beispiele hierfür sind

das Einstein-Modell und das Debye-Modell für Phononen in Kristallen
das Gaußsche Polymermodell

[Bearbeiten] Quantenmechanik

Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten, (die Differentialgleichung ist nur durch Einführen der Quantenzahl v lösbar):

$E_v = \left( v+\frac{1}{2} \right) \, h \, \nu_0$

Dabei ist h das plancksche Wirkungsquantum, $ν 0$ die Eigenfrequenz des Oszillators und v die Schwingungsquantenzahl, eine natürliche Zahl, also

v = 0,1,2,...

Dies hat fundamentale Folgen:

Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von $h ν 0$ . Der tiefste Energiezustand ist $E_0=\frac{1}{2}h\nu_0$

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung/Nullpunktsenergie). Der niedrigste Energiezustand ist auch bei der Temperatur T = 0 K E₀.

Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten hermiteschen Funktionen.

Anwendungsbeispiele: