Zykloide
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Zykloide (v. lat. cyclus bzw. griech. kýklos = Kreis + griech. -eidés = ähnlich) auch zyklische Kurve oder Radkurve ist die Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve, zum Beispiel einer Geraden beschreibt.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Mathematische Darstellung der Zykloiden
Eine Zykloide kann als analytische Gleichung und in Parameterdarstellung dargestellt werden.
Die Parameterdarstellung lautet
,
wobei r den Radius des Kreises und t den Parameter ("Wälzwinkel") bezeichnet.
Aus dieser lässt sich der Parameter t entfernen. Die analytische Gleichung lautet
.
[Bearbeiten] Eigenschaften der Zykloide
Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Die Katakaustik, die Evolute und die Evolvente der Zykloide sind selber wieder Zykloiden. Die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Zykloiden liegen vollständig auf ihrer Evolute.
Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn eines Punktes im Inneren des Kreises betrachtet wird, anschaulich etwa der Seitenstrahler beim Fahrrad. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Diese beiden Kurven heißen auch Trochoiden (griech. trochos, »Rad«).
Beispiele: Gewöhnliche Zykloiden werden von Punkten auf der Lauffläche eines Autoreifens oder sonstiger Laufräder (Eisenbahn, Seilbahn) und von den Punkten längs der Lauffläche rollender Murmeln beschrieben. Verkürzte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius kleiner dem der Lauffläche beschrieben, etwa Punkte von Fahrradspeichen oder die Ansatzpunkte von Pleuelstangen bei einer Dampflokomotive. Verlängerte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius größer dem der Lauffläche beschrieben; im Fall von Eisenbahnen wären das alle Punkte des Spurkranzes.
Die Form einer gewöhnlichen Zykloide gleicht einer Aneinanderreihung weiterer Bögen, die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.
Eine Brachistochrone beziehungsweise Tautochrone entsteht durch Spiegelung einer Zykloide an der x-Achse.
[Bearbeiten] Die Tautochronie der Zykloide
Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher Massepunkt von jedem Startpunkt auf der Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt. Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; griech: tauto: das Selbe, chronos: Zeit).
[Bearbeiten] Epi- und Hypozykloide
Rollt der Kreis dagegen außen auf einem anderen Kreis ab, entstehen Epizykloiden (griech. epíkyklos, »Nebenkreis«). Ihr Radius ist gleich der Summe des Radius des Leitkreises und des Durchmessers des bewegten Kreises. Historisch versuchte man die beobachteten Planeten-Bahnen mit teilweise eigentümlich anmutenden Schleifen durch die Epizykeltheorie zu erklären.
Rollt der Kreis innen auf dem anderen Kreis ab, entstehen blumig anmutende Kurven, so genannte Hypozykloiden. Dieser Effekt wird auch als Spielzeug als Spirograph vermarktet in Form von Zahnrädern aus Plastik, die in ihrem Inneren Löcher zum Durchstecken einer Bleistiftspitze enthalten. Die »Leitkurve« wird (in Form einer großen Scheibe mit ausgestanztem Zahnrad im Inneren) auf einem Blatt Papier festgesteckt und danach wird so lange mit dem eingesteckten Stift das abrollende Zahnrad bewegt, bis sich eine geschlossene Kurve ergibt.
Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn sich das Verhältnis der Radien als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt, wenn es also rational ist. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist dagegen die Anzahl der Zähne maßgeblich, so dass sich stets geschlossene Kurven ergeben.
Für die Anzahl der "Schleifen" n von aus einem äußeren Kreis mit dem Radius ra und einem inneren Kreis mit dem Radius ri entstehenden Epizykloiden, gilt der Zusammenhang
,
für Hypozykloiden verkürzt sich diese Formel auf
.
Eine Sonderform der Hypozykloide (die Astroide) entsteht, wenn der Radius des innen abrollenden Kreises genau ein Viertel des äußeren ist und der mitlaufende Punkt ganz außen liegt: das »Karo«, wie man es von Spielkarten kennt.
Die Kardioide ist ein Spezialfall der Epizykloide.
[Bearbeiten] Zykloidenverzahnung in der Getriebetechnik
In der Getriebetechnik ist die sogenannte Zyloidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur Verzahnung von Zahnrädern und Zahnstangen.
[Bearbeiten] Wichtigste Erkenntnisse im 17. Jahrhundert
Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Neuentdeckung und Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonderst ästhetischen Kurve. Chronologisch ist das Fortschreiten wie folgt:
- 1598 Entdeckung der Zykloide als geometrisches Objekt durch Galilei
- 1629 Methode der Flächen und Volumenberechnung durch Cavalieri. Ihm gelang erstmals eine Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide
- 1629 Forschungsanstöße durch Mersenne
- 1634 Quadratur durch Roberval
- 1635 Quadratur durch Descartes und Fermat
- 1638 Tangentenkonstruktion durch Roberval
- 1641 Tangentenkonstruktion durch Torricelli
- 1643 Quadratur durch Torricelli in Beziehung zur Schraubenlinie
- 1658 Rektifikation und Bestimmung der Zykloidenlänge durch Wren
- 1659 Rektifikation, Quadratur, Schwerpunktbestimmung, Kubaturen durch Pascal auf ein Preisausschreiben Newtons 1658
- 1664 Quadratur über unendliche Reihe durch Newton
- 1673 Quadratur über Quadratrix durch Leibniz
- 1673 Evolutenbestimmung und Tautochronie durch Heygens
- 1686 Integraldarstellund durch Leibniz
- 1697 Brachistochronie durch Johann Bernulli
