Ομομορφισμός δακτυλίων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Έστω $(R,+,\cdot)$ και $(S,\oplus,*)$ δύο δακτύλιοι.Μιά απεικόνιση $\phi :R \rightarrow S$ ονομάζεται ομομορφισμός δακτυλίων (Ring homomorphism) αν ισχύουν τα εξής:

$\phi(a+b)=\phi(a)\oplus \phi(b)$

$\phi(a\cdot b)=\phi(a)*\phi(b)$

για κάθε $a,b \in R$ .

Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 θα ονομάζεται μονομορφισμός δακτυλίων ( Ring monomorphism ) ,ενώ αν είναι επί θα ονομάζεται επιμορφισμός δακτυλίων ( Ring epimorphism ). Αν τύχει η φ να είναι 1-1 και επί τότε ονομάζεται ισομορφισμός δακτυλίων ( Ring isomorphism )΄.

Παρατηρούμε δηλαδή ότι οι ομομορφισμοί δακτυλίων "διατηρούν" τις πράξεις ,κάτι το οποίο συμβαίνει και με τις γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων.Επίσης αυτοί είναι το μέσο εκείνο που θα μας επιτρέψει να "ταξινομήσουμε" τους διαφόρους δακτυλίους ,όπου με τον όρο "ταξινόμηση" εννοούμε την ταυτοποίηση των μελών μιας θεωρίας η οποία είναι ευρύτερη της ισότητας.Ειδικότερα οι ισομορφισμοί ,όπως ορίστηκαν παραπάνω, είναι ένα μέσο με το οποίο μπορούμε να ταυτίζουμε δυο δακτυλίους.