Homomorfism
Allikas: Vikipeedia
Homomorfismi ei tohi segi ajada homöomorfismiga
Homomorfism (ehk mõnikord lihtsalt morfism) ühest matemaatilisest objektist teise sama tüüpi objektisse on kujutus, mis on ühitatav kõikide asjassepuutuvate struktuuridega.
Näiteks kui üks objekt on hulk X, millel on antud osaline järjestus < ja teine objekt on hulk Y, millel on antud osaline järjestus {, siis homomorfism hulgast X hulka Y on nisugune funktsioon f: X -> Y, et
- kui u < v siis f(u) { f(v).
Või jälle, kui nendel hulkadel on defineeritud vastavalt binaarsed tehted * ja @, siis homomorfismi f korral
- f(u) @ f(v) = f(u * v).
Morfismid on näiteks rühmade homomorfismid, ringide homomorfismid, lineaarsed operaatorid ja pidevad kujutused.
Iga homomorfism f: X -> Y defineerib ekvivalentsusseose ~ hulgal X: a ~ b siis ja ainult siis, kui f(a) = f(b). Üldjuhul nimetatakse seda ekvivalentsusseost ~ homomorfismi f tuumaks. Faktorhulgale X/~ saab siis loomulikul viisil anda objekti struktuuri, näiteks [x] * [y] = [x * y]. Sel juhul on hulga X kujutis hulgas Y paratamatult isomorfne struktuuriga X/~. See tõik on üks isomorfismiteoreemidest.
Mõningatel juhtudel (näiteks rühmade ja ringide puhul) piisab faktorhulga struktuuri määramiseks ühestainsast ekvivalentsusklaasist K, mistõttu kirjutatakse X/K. Neil juhtudel nimetakse ka homomorfismi tuumaks mitte ekvivalentsusseost ~, vaid seda ekvivalentsusklassi K.
Sisukord |
[redigeeri] Universaalalgebrate homomorfismid
[redigeeri] Definitsioon
Olgu A=<A, f(1),...,f(n)> ja B=<B, g(1),...,g(n)> sama signatuuriga universaalalgebrad ning h : A → B funktsioon, mis kujutab hulga A hulka B. Olgu i=1,...,n korral a(i) tehete f(i) ja g(i) aarsus (need aarsused peavad olema võrdsed, sest algebratel A ja B on sama signatuur). Siis h on algebra A homomorfism algebrasse B, kui iga i=1,...,n korral ja hulga A elementide iga a(i)-korteeži (x(1),...,x(a(i))) korral kehtib võrdus (f(i)(x(1),...,x(a(i))))=g(i)(h(x(1)),...,h(x(a(i)))). See tähendab, et iga i=1,...,n korral kujutab kujutus h tehte f(i) tehteks g(i).
Homomorfismi, mis on bijektsioon, nimetatakse isomorfismiks.
[redigeeri] Näide
Olgu G=<G, +, –, 0> ja H=<H, +′, –′, 0′> Abeli rühmad ja h : G → H. Eeldame, et kõikide a, b korral rühmast G kehtib võrdus h (a + b) = h(a) +′ h(b). Siis h on rühma G homomorfism rühma H. Tõepoolest, eelduse põhjal võib öelda, et h kujutab rühmatehte + rühmatehteks +′. Peale selle on kerge näidata, et h kujutab rühma G rühmatehte Ühikelemendi 0 rühma H rühmatehte ühikelemendiks 0′, nii et kehtib võtdus h(0) = 0′. Analoogiliselt on kerge näidata, et iga a ∈ G korral kehtib h(–a) = –′ h(a).
[redigeeri] Teine näide
Võtame reaalarvude hulga liitmistehtega ja positiivsete reaalarvude hulga korrutamistehtega. Võtame homomorfismiks funktsiooni f(x) = 2x. Sel juhul
- f (x + y) = f (x) · f (y).
[redigeeri] Homomorfismide tüüpe
- Homomorfismi, mis on ühtlasi bijektsioon, mille pöördkujutus on samuti homomorfism, nimetatakse isomorfismiks. Kaks isomorfset objekti on vaatlusaluse struktuuri poolest täiesti eristamatud.
- Hulga homomorfismi iseendasse nimetatakse endomorfismiks, ja kui ta on ühtlasi isomorfism, siis nimetatakse teda automorfismiks.
- Homomorfismi, mis on sürjektiivne, nimetatakse epimorfismiks.
- Homomorfismi, mis on injektiivne, nimetatakse monomorfismiks.
(Kategooriate teoorias on nende mõistete definitsioonid peenemad.)
Pooleli
