Хомоморфизам

Из пројекта Википедија

Хомоморфизам (од грчки: homós - исти, грчки: morphe - облик, форма) у математици представља пресликавање између две алгебарске структуре истог типа, које чува њихову форму.

[уреди] Особине

Нека су $(M,\cdot)$ и $(K,\times)$ две алгебарске структуре истог типа (група, поље, моноид итд.). Ако је пресликавање $f: M \rightarrow K$ хомоморфизам а $a,b \in M$ важиће:

$f(a \cdot b) = f(a) \times f(b)$

[уреди] Врсте хомоморфизама

Изоморфизам је бијективни хомоморфизам. Два објекта су изоморфна ако постоји изоморфизам између њих. Изоморфни објекти су потпуно неразазнатљиви што се тиче структуре која је у питању.

Епиморфизам је сурјективни хомоморфизам.

Мономорфизам је инјективни хомоморфизам.

Хомоморфизам са неког објекта на самог себе се зове ендоморфизам.

Ендоморфизам који је и изоморфизам се зове аутоморфизам.

У ширем контексту пресликавања која чувају структуру, начелно није довољно дефинисати изоморфизам као бијективни морфизам. Потребан услов је и да је инверзни морфизам истог типа. У алгебарским условима, овај додатни услов је аутоматски задовољен.

Односи између различитих врста хомоморфизама.
H = скуп хомоморфизама, M = скуп мономорфизама,
P = скуп епиморфизама, S = скуп изоморфизама,
N = скуп ендоморфизама, A = скуп аутоморфизама.
Приметити да: M ∩ P = S, S ∩ N = A, док класе
M ∩ N \ A и P ∩ N \ A могу бити непразне једино у случају бесконачних група.