Vikipedio:Projekto matematiko/Σ-algebro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Σ-algebro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, σ-algebro (prononcita σ-algebro) aŭ σ-kampo super aro X estas kolekto Σ de (subaroj, subaras) de X tio estas (fermita, fermis) sub numerebla aro (operacioj, operacias); σ-(algebroj, algebras) estas ĉefe uzita por ke difini (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) sur X. La koncepto estas grava en analitiko kaj teorio de probabloj.

Formale, Σ estas σ-algebro se kaj nur se ĝi havas jenaj propraĵoj:

La malplena aro estas en Σ.
Se E estas en Σ tiam (do, tiel) estas la komplemento X\E de E.
La unio de kalkuleble multaj aroj en Σ estas ankaŭ en Σ.

De 1 kaj 2 ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) X estas en Σ; de 2 kaj 3 ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) la σ-algebro estas ankaŭ (fermita, fermis) sub numerebla (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas) (tra _De_ _Morgan_'s leĝoj).

Eroj de la σ-algebro estas (nomita, vokis) mezureblaj aroj. Ordigita duopo (X, Σ), kie X estas aro kaj Σ estas σ-algebro super X, estas (nomita, vokis) mezurebla spaco. Funkcio inter du mezureblaj spacoj estas (nomita, vokis) mezurebla se la antaŭbildo de ĉiu mezurebla aro estas mezurebla. La kolekto de mezureblaj spacoj (formo, formi) kategorio kun la mezureblaj funkcioj kiel strukturkonservantaj transformoj. (Mezuras, Kriterioj, Kriterias, Mezuroj) estas difinita kiel certa (klavas, tipoj) de funkcioj de σ-algebro al [0,∞].

[redaktu] Skribmaniero

σ-(algebroj, algebras) estas iam signifis uzanta (majusklo, grandaj literoj) de la _Fraktur_ (tiparo, tipara fasono). Tial, $\mathfrak{F}$ (majo, povas) kutimi signifi (X,Σ). Alia komuna konvencio estas al uzi _calligraphic_ (majusklo, grandaj literoj) anstataŭ Σ, tial $(X,\mathcal{A})\,\;$ estas ofte uzita anstataŭ (X,Σ). Ĉi tiu estas oportuna al eviti (situacioj, situacias) kie Σ povus esti konfuzita por la sumada operatoro.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Se X estas (ĉiu, iu) aro, tiam la familio konsistanta nur de la malplena aro kaj X estas σ-algebro super X, la (do, tiel)-(nomita, vokis) bagatela σ-algebro. Alia σ-algebro super X estas donita per la plena aro de ĉiuj subaroj de X. La kolekto de (subaroj, subaras) de X kiu estas numerebla aŭ kies (komplementoj, komplementas) estas numerebla estas σ-algebro, kiu estas klara de la potencaro de X se kaj nur se X estas nekalkulebla.

Se {Σ_a} estas familio de σ-(algebroj, algebras) super X, tiam la komunaĵo de ĉiuj Σ_a estas ankaŭ σ-algebro super X.

Se U estas ajna familio de (subaroj, subaras) de X tiam ni povas (formo, formi) speciala σ-algebro de U, (nomita, vokis) la σ-algebro generita per U. Ni signifi ĝi per σ(U) kaj difini ĝi kiel sekvas. Unua (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) estas σ-algebro super X (tiu, ke, kiu) enhavas U, nome la aro de ĉiuj subaroj de X. Estu Φ esti la familio de ĉiuj σ-(algebroj, algebras) super X (tiu, ke, kiu) enhavi U (tio estas, σ-algebro Σ super X estas en Φ se kaj nur se U estas subaro de Σ.) Tiam ni difini σ(U) al esti la komunaĵo de ĉiuj σ-(algebroj, algebras) en Φ. σ(U) estas tiam la (plej minuskla, plej malgranda) σ-algebro super X (tiu, ke, kiu) enhavas U. Por simpla ekzemplo, konsideri la aro X={1,2,3}. Tiam la σ-algebro generita per la subaro {1} estas σ({1}) = { ∅, {1}, {2,3}, X}. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) per malbona de skribmaniero, kiam mia kolekto de (subaroj, subaras) C estas _singleton_ enhavanta nur A, unu (majo, povas) skribi σ(A) anstataŭ σ(C).

Ĉi tiu (plumboj, plumbas, kondukas) al la plej grava ekzemplo: la Borela algebro super (ĉiu, iu) topologia spaco estas la σ-algebro generita per la malfermitaj aroj (aŭ, ekvivalente, per la fermitaj aroj). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu σ-algebro estas ne, en ĝenerala, la tuta aro de ĉiuj subaroj. Por ne-bagatela ekzemplo, vidi la _Vitali_ aro.

Sur la Eŭklida spaco Rⁿ, alia σ-algebro estas de graveco: (tiu, ke, kiu) de ĉiuj Lebegaj mezureblaj aroj. Ĉi tiu σ-algebro enhavas pli aroj ol la Borela algebro sur Rⁿ kaj estas (preferita, pliamita) en integralada teorio.