Sigma-álgebra
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Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de União, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade.
Formalmente, X é uma σ-álgebra se e somente se X possui as seguintes propriedades:
- O conjunto vazio está em X,
- Se E está em X, então o mesmo ocorre para o complemento de E.
- Se E1, E2, E3, ... é uma seqüência em X, então sua união (contável) também está em X.
De 1 e 2 segue que S está em X; de 2 e 3 segue que a σ-álgebra também é fechada sobre interseções (via leis de De Morgan).
Um par ordenado (S, X), onde S é um conjunto e X é uma σ-álgebra sobre S, é chamado de um espaço mensurável.
[editar] Exemplos
- Se S é qualquer conjunto, então a coleção consistindo de apenas o conjunto vazio e S é uma σ-algebra sobre S, a chamada σ-álgebra trivial. Outra σ-álgebra sobre S é dada pelo conjunto das partes de S.
- Se {Xa} é uma família de σ-álgebras sobre S, então a interseção de todos os subconjuntos Xa é também uma σ-álgebra sobre S.
- Se U é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, então pode-se formar uma σ-álgebra especial a partir de U, chamada σ-álgebra gerada por U e denotada por σ(U). Define-se σ(U) da seguinte maneira:
- Primeiramente, nota-se que existe uma σ-álgebra sobre S que contém U, por exemplo, o conjunto das partes de S.
- Considere Φ como sendo a coleção (não-vazia) de todas as σ-álgebras sobre S que contém U (isto é, uma σ-álgebra X sobre S está em Φ se e somente se U está em X). Então, define-se σ(U) como sendo a interseção de todas σ-álgebras em Φ. σ(U) é pois a menor σ-álgebra sobre S que contém U.
- Esta definição nos leva ao quiçá mais importante exemplo de σ-álgebra: a Álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico, gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que esta σ-álgebra não é geralmente o conjunto potência de tal espaço. Para um exemplo não-trivial, veja Conjunto de Vitali.
- No Espaço euclidiano Rn, outra σ-álgebra é importante: a formada por todos os conjuntos mensuráveis (Lebesgue). Esta σ-álgebra contém conjuntos que não estão contidos na álgebra de Borel sobre Rn e é preferida na teoria de integrais.
