Sigma-algebra

Wikipedia

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sisällysluettelo

1 Sigma-algebran määritelmä
2 Sigma-algebran ominaisuuksia
3 Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä
4 Tärkeimpiä sigma-algebroja
5 Aiheesta muualla

[muokkaa] Sigma-algebran määritelmä

Olkoon $Ω$ mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla $Ω$ on sen osajoukkojen joukkoperhe $\mathcal{F}$ , joka toteuttaa ehdot:

$\varnothing \in \mathcal{F}$
jos $A \in \mathcal{F}$ , niin $A^c \in \mathcal{F}$
jos $A_n \in \mathcal{F}$ kaikilla $n \in \mathbb{N}$ , niin $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}$

[muokkaa] Sigma-algebran ominaisuuksia

Sigma-algebran $\mathcal{F}$ ominaisuuksia:

perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli $\Omega \in \mathcal{F}$
Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos $A \in \mathcal{F}$ ja $B \in \mathcal{F}$ , niin esimerkiksi $A \cup B \in \mathcal{F}$ , $A \cap B \in \mathcal{F}$ ja $A \setminus B \in \mathcal{F}$
jos $A_n \in \mathcal{F}$ kaikilla $n \in \mathbb{N}$ , niin $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}$
sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

[muokkaa] Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä

Triviaali sigma-algebra on joukko $\{ \varnothing, \Omega \}$ . Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran $\mathcal{F}$ ali-sigma-algebra on joukkoperhe $\mathcal{A} \subset \mathcal{F}$ , joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon $\mathcal{B}$ mielivaltainen joukkoperhe joukon $Ω$ osajoukkoja. Joukkoperheen $\mathcal{B}$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma(\mathcal{B})$ , on suppein sigma-algebra, jolla $\mathcal{B} \subset \sigma(\mathcal{B})$ .

Olkoon $f$ kuvaus $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ . Kuvauksen $f$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $σ(f)$ , on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f$ on mitallinen. $σ(f 1, f 2)$ on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f 1$ ja $f 2$ ovat mitallisia.

Olkoon $\mathcal{F}$ sigma-algebra ja $\mathcal{F}_n$ sen alisigma-algebra jokaisella $n \in \mathbb{N}$ . Jos $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1}$ jokaisella $n \in \mathbb{N}$ , niin $(\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.