Vikipedio:Projekto matematiko/3-sfero

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
3-sfero
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, 3-sfero estas pli alta-dimensia analoga de sfero. Ordinara sfero, aŭ 2-sfero, konsistas de ĉiuj punktoj samdistanca de sola punkto en ordinara 3-dimensia Eŭklida spaco, R³. 3-sfero konsistas de ĉiuj punktoj samdistanca de sola punkto en R⁴. (Dum, Ĉar) 2-sfero estas glata 2-dimensia surfaco, 3-sfero estas objekto kun tri (dimensioj, dimensias), ankaŭ sciata kiel 3-dukto.

En tute analoga maniero unu povas difini pli alta-dimensiaj sferoj (nomita, vokis) _hyperspheres_ aŭ n-sferoj. Tia (objektoj, objektas) estas n-dimensia (duktoj, duktas).

Iu popolo referi al 3-sfero kiel _glome_ de la Latina vorto _glomus_ signifo pilko. Malglate parolanta, _glome_ estas al sfero kiel sfero estas al cirklo.

Enhavo

1 Difino
2 Rudimentaj propraĵoj
3 Topologia konstruado
- 3.1 _Unslicing_
- 3.2 _Unpuncturing_
4 Topologiaj propraĵoj
5 (Koordinatoj, Koordinatsistemoj) sur la 3-sfero
6 Grupa strukturo
7 (Tangentoj, Tangentas, Tanĝantoj, Tanĝantas)
8 En literaturo
9 Vidu ankaŭ jenon:
10 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Difino

En (koordinatoj, koordinatas), 3-sfero kun centro (x₀, y₀, z₀, w₀) kaj radiuso r estas la aro de ĉiuj punktoj (x,y,z,w) en R⁴ tia (tiu, ke, kiu)

$( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 + ( w - w_0 )^2 = r^2. \,$

La 3-sfero centrita je la fonto kun radiuso 1 estas (nomita, vokis) la unuo 3-sfero kaj estas kutime signifita S³. Ĝi povas esti priskribita kiel subaro de ĉu R⁴, C², aŭ H (la _quaternions_):

$S^3 = \left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1\right\}$

$S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\mid |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}$

$S^3 = \left\{q\in\mathbb{H}\mid |q| = 1\right\}.$

La lasta priskribo estas ofte la plej utila. Ĝi priskribas la 3-sfero kiel la aro de ĉiuj unuo _quaternions_—_quaternions_ kun absoluta valoro egala al unu. (Justa, Ĵus) kiel la aro de ĉiuj unuaj kompleksaj nombroj estas grava en kompleksa geometrio, la aro de ĉiu unuo _quaternions_ estas grava al la geometrio de la _quaternions_.

[redaktu] Rudimentaj propraĵoj

La 3-dimensia volumeno (aŭ _hyperarea_) de 3-sfero de radiuso r estas

$2\pi^2 r^3 \,$

dum la 4-dimensia _hypervolume_ (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.$

Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en kiu (kesto, okazo) la komunaĵo estas sola punkto). Kiel 3-sfero movas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas ekster kiel punkto, tiam iĝas kreskanta 2-sfera kiu atingopova ĝia maksimuma amplekso kiam la hiperebeno (tranĉas, sekcas) (ĝusta, dekstra, rajto) tra la "mezo" de la 3-sfero. Tiam la 2-sfero ŝrumpas denove suben al sola punkto kiel la 3-sfero lasas la hiperebeno.

[redaktu] Topologia konstruado

Du oportunaj konstruoj por la topologiisto estas la dorsflanko de "tranĉaĵanta en duono" kaj "enpikanta".

[redaktu] _Unslicing_

3-sfero povas esti konstruita topologie per "gluanta" kune la (randoj, randas) de paro de 3-(pilkoj, pilkas, globoj, globas, sferoj, sferas, buloj, bulas, baloj, balas). La rando de 3-pilko estas 2-sfero, kaj ĉi tiuj du 2-sferoj estas al esti (identigita, identigita). Tio estas, imagi paro de 3-(pilkoj, pilkas, globoj, globas, sferoj, sferas, buloj, bulas, baloj, balas) de la sama amplekso, tiam _superpose_ ilin tiel ke ilia 2-sfera (randoj, randas) (alumeto, svati, maĉo, konkurso, kongrui), kaj estu (alumetanta, svatanta, maĉanta, konkursanta, kongruanta) (paroj, paras) de punktoj sur la paro de 2-sferoj esti idente ekvivalento al unu la alian.

La (internoj, internas, malfermaĵoj, malfermaĵas, enoj, enas) de la 3-(pilkoj, pilkas, globoj, globas, sferoj, sferas, buloj, bulas, baloj, balas) ne (alumeto, svati, maĉo, konkurso, kongrui): nur ilia (randoj, randas). Fakte, la kvara dimensio povas esti penso de kiel kontinua skalara kampo, funkcio de la 3-dimensia (koordinatoj, koordinatas) de la 3-pilko, simila al "temperaturo". Estu ĉi tiu "temperaturo" esti nulo je la 2-sfera rando, sed estu unu de la 3-(pilkoj, pilkas, globoj, globas, sferoj, sferas, buloj, bulas, baloj, balas) esti "varma" (havi pozitiva (valoroj, valoras) de ĝia skalara kampo) kaj estu la alia 3-pilko esti "malvarma" (havi negativa (valoroj, valoras) de ĝia skalara kampo). La "varma" 3-pilko povis esti penso de kiel la "varma _hemi_-3-sfero" kaj la "malvarma" 3-pilko povis esti penso de kiel la "malvarma _hemi_-3-sfero". La temperaturo estas plej alta je la varma 3-(pilka, globa, sfera, bula, bala) tre centro kaj (plej malalta, plej suba) je la malvarma 3-(pilka, globa, sfera, bula, bala) centro.

Ĉi tiu konstruado estas analoga al konstruado de 2-sfero, (aperis, plenumita) per (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) la (randoj, randas) de paro de (diskoj, diskas, cirkloj, cirklas). Disko estas 2-pilko, kaj la rando de disko estas cirklo (1-sfero). Estu paro de (diskoj, diskas, cirkloj, cirklas) esti de la sama diametro; _superpose_ ilin tiel ke ilia cirkulero (randoj, randas) (alumeto, svati, maĉo, konkurso, kongrui), tiam estu (korespondanta, respektiva) punktoj sur la cirkulero (randoj, randas) iĝi ekvivalento idente al unu la alian. La (randoj, randas) estas nun gluis kune. Nun "plenblovi" la (diskoj, diskas, cirkloj, cirklas). Unu disko plenblovas supren kaj iĝas la Norda duonglobo kaj la alia plenblovas suben kaj iĝas la Suda duonglobo.

Ĝi estas ebla por punkto vojaĝanta sur la 3-sfero al movi de unu _hemi_-3-sfero al la alia _hemiglome_ per krucanta la 2-sfera rando, kiu povis esti penso de kiel "3-_quator_" — analoga al ekvatoro sur 2-sfero. La punkto devus aspekti al esti _bouncing_ for la 3-_quator_ kaj dorsflankanta direkto de moviĝo en 3-D, sed ankaŭ ĝia "temperaturo" devus iĝi dorsflankita, e.g. de pozitiva sur la "varma _hemiglome_" al nulo sur la 3-_quator_ al negativa sur la "malvarma _hemiglome_".

[redaktu] _Unpuncturing_

Konsideri topologia 2-sfero al esti senjunta (balono, aerostato). Kiam enpikis kaj ebenigita, la forestas punkto iĝas cirklo (1-sfero) kaj la cetera (balono, aerostato) surfaco iĝas disko (2-pilko) ene la cirklo. En la sama vojo, 3-pilko estas enpikita kaj ebenigita 3-sfero. Al rekrei la 3-sfero, kunfandi ĉiuj punktoj sur la 3-pilka rando (2-sfero) enen sola punkto.

Alia vido de enpikanta estas _stereographic_ projekcio. (Restaĵo, Ripozi) la Suda Poluso de 2-sfero sur malfinia ebeno, kaj desegni linioj de la Norda Poluso tra la sfero al sekci la ebeno. Ĉiu sfera punkto korespondas al unika ebena punkto, kaj (malvirto, ŝraŭbtenilo) _versa_, esceptanta la Norda Polusa sin. La (balono, aerostato) havas estas streĉita al malfinio. _Stereographic_ projekcio de 3-sfero (krom la projekcia punkto) enspacas ĉiuj de 3-spaco en la sama maniero. Benefico de ĉi tiu rilato estas (tiu, ke, kiu) geometriaj sferoj en 3-spaca mapo al geometriaj sferoj de la 3-sfero, kaj (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) en 3-spaca mapo al sferoj enhavanta la Poluso.

Alia vido estas "(ŝosanta, pafanta, filmanta, pafado, pafaro) mapo". Loka marmoro je la Suda Poluso kaj doni ĝi _flick_ de (mezuris, kriteriita) forteco en elektita direkto. Alprenanta la marmoro restas sur la sfero kaj (ĵetiĝadas, bulkoj, bulkas, rulas, volvas) sen frotado, ĝia pozicio post (fiksis, neŝanĝebligita) tempa intervalo (diri, 1 (sekundo, dua)) estos esti iu definitiva punkto de la sfero. Grafike prezentanta direkto en la ebeno kaj forteco kiel radiuso, la Norda Poluso estas egale malproksime en ĉiu direkto; ĉi tiu estas la ekvivalento de la enpikis (balono, aerostato). Plenumante la sama (ŝosanta, pafanta, filmanta, pafado, pafaro) eksperimento sur la 3-sfero donas mapo sur la 3-pilko. Kiam la 3-sfero estas (konsiderita, konsideris) Grupo de Lie, la marmoraj vojoj estas unu-parametro (subgrupoj, subgrupas), la 3-pilko estas la tangenta spaco je la idento (prenita al esti la Suda Poluso), kaj la surĵeto al la 3-sfero estas la eksponenta funkcia surĵeto.

[redaktu] Topologiaj propraĵoj

3-sfero estas kompakta, 3-dimensia (dukto (matematiko), dukto) sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Kio ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas), lakse parolanta, estas (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) ciklo, aŭ cirkulera vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue _shrunk_ al punkto sen lasanta la 3-sfero. Estas longa-staranta, _unproven_ konjekto, sciata kiel la _Poincaré_ konjekto, (ŝtatanta, statanta) (tiu, ke, kiu) la 3-sfero estas la nur tri dimensia (dukto (matematiko), dukto) kun ĉi tiuj propraĵoj (supren al homeomorfio).

La 3-sfero estas ankaŭ homeomorfia al la unu-punkta kompaktigo de R³.

La homologecaj grupoj de la 3-sfero estas kiel sekvas: H₀(S³,Z) kaj H₃(S³,Z) estas ambaŭ malfinio cikla, dum H_mi(S³,Z) = {0} por ĉiuj aliaj indeksoj mi. (Ĉiu, Iu) topologia spaco kun ĉi tiuj homologecaj grupoj estas sciata kiel homologeco 3-sfero. (Komence, Fonte) _Poincaré_ konjektis (tiu, ke, kiu) ĉiu homologeco (3-sferoj, 3-sferas) estas homeomorfia al S³, sed tiam lia sin konstruis ne-homeomorfia unu, nun sciata kiel la _Poincaré_ sfero. Malfinie multaj homologecaj sferoj estas nun sciata al ekzisti. Ekzemple, _Dehn_ enspacanta kun inklino 1/n sur (ĉiu, iu) nodo en la tri-sfero donas homologeca sfero; tipe ĉi tiuj estas ne homeomorfia al la tri-sfero.

Rilate la homotopecaj grupoj, ni havi π₁(S³) = π₂(S³) = {0} kaj π₃(S³) estas malfinio cikla. La pli altaj homotopecaj grupoj (k ≥ 4) estas ĉiuj finia abela sed alie sekvi ne _discernable_ ŝablono. Por pli diskuto vidi homotopecaj grupoj de sferoj.

**Homotopecaj grupoj de S³**
k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
π_k(S³)	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₁₂⊕Z₂	Z₈₄⊕Z₂⊕Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₆

Estas (interezanta, interesanta) grupa ago de S¹ (penso de kiel la grupo de kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1) sur S³ (penso de kiel subaro de C²): λ·(z₁,z₂) = (λz₁,λz₂). La orbita spaco de ĉi tiu ago estas (naive, krude, nature) homeomorfia al la du-sfero S². La rezultanta mapo de la 3-sfero al la 2-sfero estas sciata kiel la Hopf-a pakaĵo. Ĝi estas la generilo de la homotopeca grupo π₃(S²).

[redaktu] (Koordinatoj, Koordinatsistemoj) sur la 3-sfero

[redaktu] _Hyperspherical_ (koordinatoj, koordinatas)

Ĝi estas oportuna al havi iu (speco, ordigo) de _hyperspherical_ (koordinatoj, koordinatas) sur S³ en analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur S². Unu tia elekto—neniel unika—estas al uzi (ψ, θ, φ) kie

$x_0 = \cos\psi\,$

$x_1 = \cos\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_2 = \sin\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_3 = \cos\theta\,\sin\psi$

kie ψ kaj θ (kuras, rulas) super la limigo 0 al π, kaj φ (kuras, rulas) super 0 al _2π_. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) por (ĉiu, iu) (fiksis, neŝanĝebligita) valoro de ψ, θ kaj φ parametrigi 2-sfero de radiuso (peko, peki)(ψ), krom la degeneri (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), kiam ψ egalas 0 aŭ π, en kiu (kesto, okazo) ili priskribi punkto.

La rondigi metriko sur la 3-sfero en ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) estas donita per

$ds^2 = d\psi^2 + \sin^2\psi\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2\right)$

kaj la volumena formo per

$dV = \left(\sin^2\psi\,\sin\theta\right)\,d\psi\wedge d\theta\wedge d\phi.$

Ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) havi eleganta priskribo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de _quaternions_. (Ĉiu, Iu) unuo _quaternion_ q povas esti skribita en la (formo, formi):

q = e^_τψ_ = cos ψ + τ (peko, peki) ψ

kie τ estas unuo imaginara _quaternion_—tio estas, (ĉiu, iu) _quaternion_ kiu (verigas, kontentigas) τ² = −1. Ĉi tiu estas la _quaternionic_ analoga de Eŭlera formulo. Nun la unuo imaginara _quaternions_ ĉiuj (mensogi, kuŝi) sur la unuo 2-sfero en _Im_ H (do, tiel) (ĉiu, iu) tia τ povas esti skribita:

τ = cos φ (peko, peki) θ mi + (peko, peki) φ (peko, peki) θ j + cos θ k

Kun τ en ĉi tiu (formo, formi), la unuo _quaternion_ q estas donita per

q = e^_τψ_ = x₀ + x₁ mi + x₂ j + x₃ k

kie la x’s estas kiel pli supre.

Kiam q estas uzita al priskribi spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) (cf. _quaternions_ kaj spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)) ĝi priskribas turnado pri τ tra angulo de _2ψ_.

[redaktu] _Hopf_ (koordinatoj, koordinatas)

Alia elekto de _hyperspherical_ (koordinatoj, koordinatas), (η, ξ₁, ξ₂), (konstruas, faras) uzi de la enigo de S³ en C². En komplekso (koordinatoj, koordinatas) (z₁, z₂) ∈ C² ni skribi

$z_1 = e^{i\,\xi_1}\sin\eta$

$z_2 = e^{i\,\xi_2}\cos\eta.$

Ĉi tie η (kuras, rulas) super la limigo 0 al π/2, kaj ξ₁ kaj ξ₂ povas preni (ĉiu, iu) (valoroj, valoras) inter 0 kaj _2π_. Ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) estas utila en la priskribo de la 3-sfero kiel la Hopf-a pakaĵo

$S^1 \to S^3 \to S^2.\,$

Por (ĉiu, iu) (fiksis, neŝanĝebligita) valoro de η inter 0 kaj π/2, la (koordinatoj, koordinatas) (ξ₁, ξ₂) parametrigi 2-dimensia toro. En la degeneri (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), kiam η egalas 0 aŭ π/2, ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) priskribi cirklo.

La rondigi metriko sur la 3-sfero en ĉi tiuj (koordinatoj, koordinatas) estas donita per

$ds^2 = d\eta^2 + \sin^2\eta\,d\xi_1^2 + \cos^2\eta\,d\xi_2^2$

kaj la volumena formo per

$dV = \sin\eta\cos\eta\,d\eta\wedge d\xi_1\wedge d\xi_2.$

[redaktu] _Stereographic_ (koordinatoj, koordinatas)

Alia oportuna aro de (koordinatoj, koordinatas) povas esti ricevita tra _stereographic_ projekcio de S³ sur tangento R³ hiperebeno. Ekzemple, se ni (projekcii, projekto) sur la ebena tangento trafe (1, 0, 0, 0) ni povas skribi punkto p en S³ kiel

$p = \left(\frac{1-\|u\|^2}{1+\|u\|^2}, \frac{2\mathbf{u}}{1+\|u\|^2}\right) = \frac{1+\mathbf{u}}{1-\mathbf{u}}$

kie u = (u₁, u₂, u₃) estas vektoro en R³ kaj ||u||² = u₁² + u₂² + u₃². En la (sekundo, dua) egaleco pli supre ni havi (identigita, identigita) p kun unuo _quaternion_ kaj u = u₁ mi + u₂ j + u₃ k kun pura _quaternion_. ((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la divido jen bone-difinita (ebena, para, eĉ) kvankam _quaternionic_ multipliko estas ĝenerale nekomutebla). La inverso de ĉi tiu mapo prenas p = (x₀, x₁, x₂, x₃) en S³ al

$\mathbf{u} = \frac{1}{1+x_0}\left(x_1, x_2, x_3\right).$

Ni povita (justa, ĵus) havi bone havi (projekciita, projektita) sur la ebena tangento trafe (−1, 0, 0, 0) en kiu (kesto, okazo) la punkto p estas donita per

$p = \left(\frac{-1+\|v\|^2}{1+\|v\|^2}, \frac{2\mathbf{v}}{1+\|v\|^2}\right) = \frac{-1+\mathbf{v}}{1+\mathbf{v}}$

kie v = (v₁, v₂, v₃) estas vektoro en la (sekundo, dua) R³. La inverso de ĉi tiu mapo prenas p al

$\mathbf{v} = \frac{1}{1-x_0}\left(x_1,x_2,x_3\right).$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la u (koordinatoj, koordinatas) estas difinita ĉie sed (−1, 0, 0, 0) kaj la v (koordinatoj, koordinatas) ĉie sed (1, 0, 0, 0). Ambaŭ flikaĵoj kune kovri ĉiuj de S³. Ĉi tiu difinas (maparo, atlaso, atlanto) sur S³ konsistanta de du koordinato (abakoj, abakas). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la traira funkcio inter ĉi tiuj du (abakoj, abakas) sur ilia parte kovri estas donita per

$\mathbf{v} = \frac{1}{\|u\|^2}\mathbf{u}$

kaj inverse.

[redaktu] Grupa strukturo

Kiam (konsiderita, konsideris) kiel la aro de unuo _quaternions_, S³ heredas grava strukturo, nome (tiu, ke, kiu) de _quaternionic_ multipliko. Ĉar la aro de unuo _quaternions_ estas (fermita, fermis) sub multipliko, S³ prenas sur la strukturo de grupo. Ankaŭ, ekde _quaternionic_ multipliko estas glata, S³ povas esti estimita kiel (reala, reela) Grupo de Lie. Ĝi estas _nonabelian_, kompakta Grupo de Lie de dimensio 3. Kiam penso de kiel Grupo de Lie S³ estas ofte signifita _Sp_(1) aŭ U(1, H).

Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) la nur sferoj kiu konsenti Grupo de Lie strukturo estas S¹, penso de kiel la aro de unuaj kompleksaj nombroj, kaj S³, la aro de unuo _quaternions_. Unu povus (opinii, pensi) (tiu, ke, kiu) S⁷, la aro de unuo _octonions_, devus (formo, formi) Grupo de Lie, sed ĉi tiu mankas ekde _octonion_ multipliko estas _nonassociative_. La _octonionic_ strukturo faras doni S⁷ unu grava propraĵo: _parallelizability_. Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) la nur sferoj kiu estas _parallelizable_ estas S¹, S³, kaj S⁷.

Per uzanta matrica prezento de la _quaternions_, H, unu ricevas matrica prezento de S³. Unu oportuna elekto estas

$x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.$

Ĉi tiu mapo donas (disĵeta, enjekcia) algebra homomorfio de H al la aro de 2×2 kompleksaj matricoj. Ĝi havas la propraĵo (tiu, ke, kiu) la absoluta valoro de _quaternion_ q estas egala al la kvadrata radiko de la determinanto de la matrica bildo de q.

La aro de unuo _quaternions_ estas tiam donita per matricoj de la pli supre (formo, formi) unuhava determinanto. Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) ĉi tiu grupo estas precize la speciala unuargumenta grupo Su(2). Tial, S³ kiel Grupo de Lie estas izomorfia al Su(2).

Uzanta nia _hyperspherical_ (koordinatoj, koordinatas) (η, ξ₁, ξ₂) ni povas tiam skribi (ĉiu, iu) ero de Su(2) en la (formo, formi)

$\begin{pmatrix}e^{i\,\xi_1}\sin\eta & e^{i\,\xi_2}\cos\eta \\ -e^{-i\,\xi_2}\cos\eta & e^{-i\,\xi_1}\sin\eta\end{pmatrix}.$

[redaktu] (Tangentoj, Tangentas, Tanĝantoj, Tanĝantas)

Unuo 3-sfero enigita en 4-spaco havas 3-spaco de tangento (vektoroj, vektoras), T_pS³, je ĉiu punkto p. Se (x₀,x₁,x₂,x₃) estas la (koordinatoj, koordinatas) de p, tiam la vektoro kun (koordinatoj, koordinatas) (−x₁,x₀,−x₃,x₂) estas en T_pS³, kaj la kolekto de ĉiuj ĉi tiuj (vektoroj, vektoras) (formoj, formas) kontinua unuobla vektora kampo sur S³. (Ĉi tiu estas sekcio de la tangenta pakaĵo, TS³.) Tia konstruado estas klare ebla por sferoj totale (ebena, para, eĉ)-dimensia (spacoj, kosmoj, spacetoj), S²ⁿ⁻¹; sed implikacio de la _Atiyah_-Kantista indeksa teoremo estas (tiu, ke, kiu) ĝi estas neebla por S²ⁿ (por pozitiva n).

[redaktu] En literaturo

_Stephen_ _Baxter_ uzita la 3-sfero en lia novelo _Dante_ kaj la 3-Sfero, tre profunda etaĝo en kiu kvazaŭe freneza sciencisto kaj teologo "komprenas" (tiu, ke, kiu) _Dante_ estas referanta al _traversal_ tra multaj (3-sferoj, 3-sferas) en lia etaĝo. La ĉefrolulo estas prenita per la sciencisto enen vojaĝo tra multaj (3-sferoj, 3-sferas).

En _Edwin_ Abato Abata _Flatland_, (publikigita, publikigis) en 1884, la 3-sfero estas referita al kiel _oversphere_.

Skribanta en la Amerika Ĵurnalo de Fiziko, Marko A. _Peterson_ priskribas tri malsama (vojoj, vojas) de bildiganta (3-sferoj, 3-sferas) kaj punktoj ekster lingvo en _Dante_'s Klerika Komedio (tiu, ke, kiu) (pensigi, sugesti) li (_Dante_) vidita la Universo en la sama vojo. _Peterson_ (aperas, ŝajnas, aspektas) al esti _unaware_ de _Baxter_'s laboro.

(_ref_: "_Dante_ kaj la 3-sfero", Amerika Ĵurnalo de Fiziko, (volumeno, volumo) 47, nombro 12, 1979, _pp1031_-1035)

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

1-sfero, 2-sfero, n-sfero
_tesseract_, _polychoron_, simpleca
_Pauli_ matricoj
rotacia grupa So(3)
- abakoj sur So(3)
- _quaternions_ kaj spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)
Hopf-a pakaĵo, Rimana sfero
_Poincaré_ sfero
_Reeb_ _foliation_
_Clifford_ toro

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

_Mathworld_ retejo

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_3-sfero_1a29.html"