Vikipedio:Projekto matematiko/Trigonometria idento

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Trigonometria idento
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, trigonometriaj identoj estas ekvacioj engaĝante trigonometriaj funkcioj (tiu, ke, kiu) estas vera por ĉiuj (valoroj, valoras) de la okazanta (variabloj, variablas). Ĉi tiuj identoj estas utila ĉiam esprimoj engaĝante trigonometriaj funkcioj (bezoni, bezono, necesa) al esti (simpligita, plisimpligita). Grava apliko estas la integralado de ne-trigonometriaj funkcioj: komuna artifiko engaĝas unua uzanta la anstataŭa regulo kun trigonometria funkcio, kaj tiam (simpliganta, plisimpliganta) la rezultanta integralo kun trigonometria idento.

[redaktu] (Notacio, Skribmaniero)

Jeno (notacioj, skribmanieroj, skribmanieras) teni por ĉiuj ses trigonometriaj funkcioj: sinuso ((peko, peki)), kosinuso (cos), tangento ((tani, sunbrunigi)), kotangento (infanlito), (sekcanto, sekanto) (_sec_), kaj kosekanto (_csc_). Por koncizeco, nur la sinuso (kesto, okazo) estas donita en la (baremo, tabelo, tablo).

(Notacio, Skribmaniero)	Leganta	Priskribo	Difino
(peko, peki)²(x)	"sinuso (kvadratis, placita, kvadratigita) [de] x"	la kvadrato de sinuso; sinuso al la (sekundo, dua) povo	(peko, peki)²(x) = ((peko, peki)(x))²
_arcsin_(x)	"_arcsine_ [de] x"	la inversa funkcio por sinuso	_arcsin_(x) = y se kaj nur se (peko, peki)(y) = x kaj $-{\pi \over 2} \le y \le {\pi \over 2}$
((peko, peki)(x))⁻¹	"sinuso [de] x, al la negativa-unu povo"	la (reciproka, reciprokaĵo, inverso) de sinuso; la inverso de sinuso	((peko, peki)(x))⁻¹ = 1 / (peko, peki)(x)

_arcsin_(x) povas ankaŭ esti skribita (peko, peki)⁻¹(x); ĉi tiu devas ne esti konfuzita kun ((peko, peki)(x))⁻¹.

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

$\tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cot}(x) = \frac {\cos (x)} {\sin(x)} = \frac{1} {\tan(x)}$

$\operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{csc}(x) = \frac{1} {\sin(x)}$

Por pli informo, inkluzivanta (difinoj, difinas) bazita sur la flankoj de (ĝusta, dekstra, rajto) triangulo, vidi Trigonometriaj funkcioj.

[redaktu] Periodeco, simetrio, kaj (skipoj, ŝovas, ŝovoj)

Ĉi tiuj estas plej facile montrita de la unuobla cirklo:

Periodeco (por (ĉiu, iu) entjero k)	Simetrio	(Skipoj, Ŝovas, Ŝovoj)
$\sin(x) = \sin(x + 2k\pi) \,$	$\sin(-x) = -\sin(x) \,$	$\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$
$\cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \,$	$\cos(-x) =\; \cos(x) \,$	$\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
$\tan(x) = \tan(x + k\pi) \,$	$\tan(-x) = -\tan(x) \,$	$\tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$
	$\cot(-x) = -\cot(x) \,$

Por iu (celoj, celas) ĝi estas grava al scii (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) lineara kombinaĵo de sinusaj ondoj de la sama (periodo, punkto) sed malsama fazo (skipoj, ŝovas, ŝovoj) estas ankaŭ sinusa ondo kun la sama (periodo, punkto), sed malsama fazo (ŝovi, ŝovo). En alia (vortoj, vortas), ni havi

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)$

kie

$\varphi= \left\{ \begin{matrix} {\rm arctan}(b/a),&&\mbox{if }a\ge0; \; \\ \pi-{\rm arctan}(b/a),&&\mbox{if }a<0. \; \end{matrix} \right. \;$

[redaktu] Pitagoraj identoj

Ĉi tiuj identoj estas bazita sur la Pitagora teoremo. La unua estas iam simple (nomita, vokis) la Pitagora trigonometria idento.

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \;$

$\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \;$

$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x) \;$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la (sekundo, dua) ekvacio estas ricevita de la unua per dividanta ambaŭ flankoj per cos²(x). Al preni la tria ekvacio, dividi la unua per (peko, peki)²(x) anstataŭe.

[redaktu] Angulo (sumo, sumi) kaj diferencaj identoj

Ĉi tiuj estas ankaŭ sciata kiel la (aldono, adicio) kaj subtraho (teoremoj, teoremas) aŭ formuloj. La plej rapida vojo al pruvi ĉi tiuj estas Eŭlera formulo. La tangenta formulo sekvas de la alia du. Geometria pruvo de la (peko, peki)(x + y) idento estas donita je la fino de ĉi tiu artikolo.

$\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)\,$

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\,$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

${\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}(x)\,{\rm c\dot{\imath} s}(y)$

${\rm c\dot{\imath} s}(x-y)={{\rm c\dot{\imath} s}(x)\over{\rm c\dot{\imath} s}(y)}$

kie

${\rm c\dot{\imath} s}(x)=\exp(i x)=e^{i x}=\cos(x)+i \sin(x)\,$

kaj

$i =\sqrt{-1}.\,$

Vidi ankaŭ _Ptolemaios_' teoremo.

[redaktu] Duopa-angulaj formuloj

Ĉi tiuj povas esti montrita per anstataŭiganta x = y en la aldonaj teoremoj, kaj uzanta la Pitagora formulo por la lasta du. Aŭ uzi _de_ _Moivre_'s formulo kun n = 2.

$\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x) \,$

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x) \,$

$\tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)}$

La duopa-angulaj formuloj povas ankaŭ kutimi trovi Pitagoraj triopoj. Se (a, b, c) estas la (longoj, longas) de la flankoj de (ĝusta, dekstra, rajto) triangulo, tiam (a² − b², 2abo, c²) ankaŭ (formo, formi) (ĝusta, dekstra, rajto) triangulo, kie angulo B estas la angulo estante duobligis. Se a² − b² estas negativa, preni ĝia kontraŭa kaj uzi la suplemento de B.

[redaktu] Triopo-angulaj formuloj

$\cos(3x)= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \,$

$\sin(3x)= 3 \sin(x)- 4 \sin^3(x) \,$

$\tan(3x)= \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2(x)}$

[redaktu] Multaj-angulaj formuloj

Se T_n estas la n(th, -a) Ĉebiŝev-a polinomo tiam

$\cos(nx)=T_n(\cos(x)). \,$

_de_ _Moivre_'s formulo:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n \,$

La Kerno de Dirichlet D_n(x) estas la funkcio okazanta sur ambaŭ flankoj de la venonta idento:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right) }{ \sin(x/2) }.$

La rulumo de (ĉiu, iu) integralebla funkcio de (periodo, punkto) 2π kun la Kerno de Dirichlet koincidas kun la funkcia n(th, -a)-grada Fourier-a proksimuma kalkulado. La sama tenas por (ĉiu, iu) mezuri aŭ ĝeneraligita funkcio.

[redaktu] Povo-malpligrandiĝaj formuloj

Solvi la (sekundo, dua) kaj tria (versioj, versias) de la kosinusa duopa-angula formulo por cos²(x) kaj (peko, peki)²(x), respektive.

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) \cos^2(x) = {1 - \cos(4 x) \over 8}$

$\sin^3(x) = \frac{3 \sin(x) - \sin(3 x)}{4}$

$\cos^3(x) = \frac{3 \cos(x) + \cos(3 x)}{4}$

[redaktu] Duono-angulaj formuloj

Iam la formuloj en la antaŭa sekcio estas (nomita, vokis) duono-angulaj formuloj. Al vidi kial, (anstataŭa, anstataŭigi) x/2 por x en la povaj malpligrandiĝaj formuloj, tiam solvi por cos(x/2) kaj (peko, peki)(x/2) al preni:

$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$

Ĉi tiuj (majo, povas) ankaŭ nomiĝi la duono-angulaj formuloj. Tiam

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = {\sin (x/2) \over \cos (x/2)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos x \over 1 + \cos x}. \qquad \qquad (1)$

Multipliki ambaŭ numeratoro kaj denominatoro ene la radikala per 1 + cos x, tiam (simpligi, plisimpligi) (uzanta Pitagora idento):

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 + \cos x) \over (1 + \cos x) (1 + \cos x)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos^2 x \over (1 + \cos x)^2}$

$= {\sin x \over 1 + \cos x}.$

Ankaŭ, multiplikante ambaŭ numeratoro kaj denominatoro ene la radikala — en ekvacio (1) — per
1 − cos x, tiam (simpliganta, plisimpliganta):

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 - \cos x) \over (1 + \cos x) (1 - \cos x)} = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x)^2 \over (1 - \cos^2 x)}$

$= {1 - \cos x \over \sin x}.$

Tial, la paro de duono-angulaj formuloj por la tangento estas:

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}.$

Se ni aro

$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),$

tiam

$\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}$

kaj

$\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

kaj

$e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}.$

Ĉi tiu anstataŭo de t por (tani, sunbrunigi)(x/2), kun la konsekvenca anstataŭo de (peko, peki)(x) per 2t/(1 + t²) kaj cos(x) per (1 − t²)/(1 + t²) estas utila en kalkulo por konvertantaj racionalaj funkcioj en (peko, peki)(x) kaj cos(x) al funkcioj de t por ke trovi ilia (nedifinitaj integraloj, malderivaĵoj, malderivaĵas). Por pli informo vidi tangenta duono-angula formulo.

[redaktu] (Produkto, Produto)-al-(sumo, sumi) identoj

Ĉi tiuj povas esti pruvita per elvolvantaj iliaj dekstraj flankoj uzanta la angulaj aldonaj teoremoj.

$\cos\left (x\right ) \cos\left (y\right ) = {\cos\left (x + y\right ) + \cos\left (x - y\right ) \over 2} \;$

$\sin\left (x\right ) \sin\left (y\right ) = {\cos\left (x - y\right ) - \cos\left (x + y\right ) \over 2} \;$

$\sin\left (x\right ) \cos\left (y\right ) = {\sin\left (x - y\right ) + \sin\left (x + y\right ) \over 2} \;$

[redaktu] (Sumo, Sumi)-al-(produkto, produto) identoj

Anstataŭigi x per (x + y) / 2 kaj y per (x – y) / 2 en la (produkto, produto)-al-(sumo, sumi) formuloj.

$\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \;$

$\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \;$

$\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin\left( {x + y \over 2}\right) \sin\left({x - y \over 2}\right) \;$

$\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos\left({x + y\over 2}\right) \sin\left({x - y\over 2}\right) \;$

(Cetere, Aldone) ni havi por (ĉiu, iu) a kaj b:

$a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \arctan(b, a)) \;$

kie _arctan_(y, x) estas la ĝeneraligo de _arctan_(y/x) kiu kovras la tuta cirkulera limigo (vidi ankaŭ la (konto, kalkulo) de ĉi tiu sama idento en "simetrio, periodeco, kaj (skipoj, ŝovas, ŝovoj)" pli supre por ĉi tiu ĝeneraligo de _arctan_).

[redaktu] Inversaj trigonometriaj funkcioj

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \;$

$\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \;$

$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

$\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\tan(\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

Ĉiu trigonometria funkcio povas esti rilatanta rekte al ĉiu alia trigonometria funkcio. Tiaj rilatoj povas esti esprimita per inversaj trigonometriaj funkcioj kiel sekvas: estu φ kaj ψ prezenti paro de trigonometriaj funkcioj, kaj estu arkoψ esti la inverso de ψ, tia (tiu, ke, kiu) ψ(arkoψ(x))=x. Tiam φ(arkoψ(x)) povas esti esprimita kiel algebra formulo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de x. Tiaj formuloj estas montrita en la (baremo, tabelo, tablo) pli sube: φ povas esti farita egala al la kapo de unu de la (linioj, vicoj, linias, vicas), kaj ψ povas esti _equated_ al la kapo de kolumno:

*(Baremo, Tabelo, Tablo) de konvertiĝaj formuloj*
φ / ψ	(peko, peki)	cos	(tani, sunbrunigi)	_csc_	_sec_	infanlito
(peko, peki)	$x\$	$\sqrt{1 - x^2}$	${x \over \sqrt{1 + x^2}}$	${1 \over x}$	${\sqrt{x^2 - 1} \over x}$	${1 \over \sqrt{1 + x^2}}$
cos	$\sqrt{1 - x^2}$	$x\$	${1 \over \sqrt{1 + x^2}}$	${\sqrt{x^2 - 1} \over x}$	${1 \over x}$	${x \over \sqrt{1 + x^2}}$
(tani, sunbrunigi)	${x \over \sqrt{1 - x^2}}$	${\sqrt{1 - x^2} \over x}$	$x\$	${1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$	$\sqrt{x^2 - 1}$	${1 \over x}$
_csc_	${1 \over x}$	${1 \over \sqrt{1 - x^2}}$	${\sqrt{1 + x^2} \over x}$	$x\$	${x \over \sqrt{x^2 - 1}}$	$\sqrt{1 + x^2}$
_sec_	${1 \over \sqrt{1 - x^2}}$	${1 \over x}$	$\sqrt{1 + x^2}$	${x \over \sqrt{x^2 - 1}}$	$x\$	${\sqrt{1 + x^2} \over x}$
infanlito	${\sqrt{1 - x^2} \over x}$	${x \over \sqrt{1 - x^2}}$	${1 \over x}$	$\sqrt{x^2 - 1}$	${1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$	$x\$

Unu proceduro (tiu, ke, kiu) povas kutimi ricevi la eroj de ĉi tiu (baremo, tabelo, tablo) estas kiel sekvas:
Donitaj trigonometriaj funkcioj φ kaj ψ, kio estas φ(arkoψ(x)) egala al?

Trovi ekvacio (tiu, ke, kiu) (rilatas, rakontas) φ(u) kaj ψ(u) al unu la alian:

$f(\varphi(u), \psi(u)) = 0 \$
Estu u = arko ψ(x), tiel ke:

$f(\varphi({\rm arc}\psi(x)),\psi({\rm arc}\psi(x)) = 0 \$

$f(\varphi({\rm arc}\psi(x)),x) = 0 \$
Solvi la lasta ekvacio por φ(arkoψ(x)).

Ekzemplo. Kio estas infanlito(_arccsc_(x)) egala al? Unua, trovi ekvaciaj kiuj rilatoj la funkcia infanlito kaj _csc_ al unu la alian, kiel

$\cot^2 u + 1 = \csc^2 u \$ .

(Sekundo, Dua), estu u = _arccsc_(x):

$\cot^2(\arccsc(x)) + 1 = \csc^2(\arccsc(x)) \$ ,

$\cot^2(\arccsc(x)) + 1 = x^2 \$ .

Tria, solvi ĉi tiu ekvacio por infanlito(_arccsc_(x)):

$\cot^2(\arccsc(x)) = x^2 - 1, \$

$\cot(\arccsc(x)) = \pm\sqrt{x^2 - 1},$

kaj ĉi tiu estas la formulo kiu montras supren en la sesa (linio, vico) kaj kvara kolumno de la (baremo, tabelo, tablo).

[redaktu] Eksponenta funkcio (formoj, formas)

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;$

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;$

kie $i^{2}=-1.\,$

[redaktu] Malfinio (produkto, produto) formuloj

Por aplikoj al specialaj funkcioj, jena malfinio (produkto, produto) formuloj por trigonometriaj funkcioj estas utila:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

[redaktu] La _Gudermannian_ funkcio

La _Gudermannian_ funkcio (rilatas, rakontas) la cirkulero kaj hiperbolaj trigonometriaj funkcioj sen _resorting_ al kompleksaj nombroj; vidi (tiu, ke, kiu) artikolo por (detaloj, detalas).

[redaktu] Identoj sen (variabloj, variablas)

Richard Feynman estas famita al havi lernita kiel knabo, kaj ĉiam memoris, jena kurioza idento:

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}.$

Tamen, ĉi tiu estas speciala okazo de idento (tiu, ke, kiu) enhavas unu (variablo, varianta):

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Jeno estas eble ne kiel _readily_ ĝeneraligis al idento enhavanta (variabloj, variablas):

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}$ .

Grado mezuri ĉesas al esti pli _felicitous_ ol radiano mezuri kiam ni konsideri ĉi tiu idento kun 21 en la (denominatoroj, denominatoras):

$\cos\left( \frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)$

$\,+\, \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.$

La (faktoroj, faktoras) 1, 2, 4, 5, 8, 10 (majo, povas) starti al fari la ŝablono klara: ili estas tiuj (entjeroj, entjeras) malpli ol 21/2 (tiu, ke, kiu) estas prima al (aŭ havi ne primaj faktoroj en komuna kun) 21. La lasta kelkaj (ekzemploj, ekzemplas) estas (korolarioj, korolarias) de baza fakto pri la nereduktebla _cyclotomic_ (polinomoj, polinomas): la (kosinusoj, kosinusas) estas la reelaj partoj de la nuloj de tiuj (polinomoj, polinomas); la (sumo, sumi) de la nuloj estas la Funkcio de Möbius (komputita, pritaksita) je (en la tre lasta (kesto, okazo) pli supre) 21; nur duono de la nuloj estas (prezenti, aktuala) pli supre. La du identoj antaŭvenanta ĉi tiu lasta unu ekesti en la sama (modo, maniero) kun 21 (anstataŭigita, anstataŭigis) per 10 kaj 15, respektive.

Kompetenta vojo al komputi π estas bazita sur jena idento sen (variabloj, variablas), pro al _Machin_:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

aŭ, alternative, per uzanta Eŭlera formulo:

$\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.$

Sub ĉi tiu (kapanta, kapetanta, kranianta, rubriko), estas ankaŭ "speciala (valoroj, valoras)" de trigonometriaj funkcioj, inkluzivanta la aĵoj (tiu, ke, kiu) ĉiu studento de trigonometrio lernas:

$\begin{matrix} \sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & 0 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & 1/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & 1 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 \end{matrix}$

$\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}- \frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!} \!$

$\sin{\frac{\pi}{18}}= \frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!} \!$

Kun la ora proporcio φ:

$\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \varphi /2$

$\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}$

[redaktu] Kalkulo

En kalkulo la rilatoj komencita pli sube postuli anguloj al esti (mezurita, kriteriita) en (radianoj, radianas); la rilatoj devus iĝi pli komplika se anguloj estis (mezurita, kriteriita) en alia unuo kiel (gradoj, gradas). Se la trigonometriaj funkcioj estas difinita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de geometrio, tiam iliaj derivaĵoj povas troviĝi per kontrolanta du limigoj. La unua estas:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

kontrolita uzanta la unuobla cirklo kaj prema teoremo. Ĝi (majo, povas) esti tentanta al proponi al uzi Regulo de L'Hôpital al fondi ĉi tiu limigo. Tamen, se unu uzas ĉi tiu limigo por ke pruvi (tiu, ke, kiu) la derivaĵo de la sinuso estas la kosinuso, kaj tiam uzas la fakto (tiu, ke, kiu) la derivaĵo de la sinuso estas la kosinuso en aplikanta Regulo de L'Hôpital, unu estas (racianta, rezonanta, kaŭzanta) _circularly_—logika _fallacy_. La (sekundo, dua) limigo estas:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,$

kontrolita uzanta la idento (tani, sunbrunigi)(x/2) = (1 − cos(x))/(peko, peki)(x). Havanta (fondita, fondis) ĉi tiuj du limigoj, unu povas uzi la limiga difino de la derivaĵo kaj la aldonaj teoremoj al montri (tiu, ke, kiu) (peko, peki)′(x) = cos(x) kaj cos′(x) = −(peko, peki)(x). Se la sinuso kaj kosinusaj funkcioj estas difinita per ilia Serio de Taylor, tiam la derivaĵoj povas troviĝi per (diferencialanta, derivanta) la potencoserio (termo, membro, flanko, termino)-per-(termo, membro, flanko, termino).

${d \over dx}\sin(x) = \cos(x)$

La cetera la trigonometriaj funkcioj povas esti (diferencialita, derivita) uzanta la pli supre identoj kaj la reguloj de diferencialado. Ni havi:

${d \over dx}\cos(x) = -\sin(x)$

${d \over dx}\tan(x) = \sec^2(x)$

${d \over dx}\cot(x) = -\csc^2(x)$

${d \over dx}\sec(x) = \sec(x) \tan(x)$

${d \over dx}\csc(x) = - \csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${d \over dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$

La integralaj identoj povas troviĝi en Vikipedia malderivaĵo.

[redaktu] Geometriaj pruvoj

[redaktu] (peko, peki)(x + y) = (peko, peki)(x) cos(y) + cos(x) (peko, peki)(y)

En la (cifero, figuro) la angulo x estas parto de (ĝusta, dekstra, rajto) (angulis, sektorita) triangula Aboco, kaj la angulo y parto de (ĝusta, dekstra, rajto) (angulis, sektorita) triangulo _ACD_. Tiam konstrui _DG_ (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al _AB_ kaj konstrui _CE_ paralelo al _AB_.

Angulo x = Angulo _BAC_ = Angulo _ACE_ = Angulo _CDE_.

_EG_ = Antaŭ kristo.

$\sin(x + y) \,$