Ecuación de onda

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La ecuación de onda es una importante ecuación en derivadas parciales que describe una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas de agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como lo es en algunos instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange.

[editar] Introducción

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u,$

donde $c$ es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda y donde $\Delta = \nabla^2$ es el laplaciano.

Para una onda sonora en el aire a 20ºC, la velocidad de propagación es aproximadamente de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión.

Para un resorte de espiral puede ser tan lento como un metro por segundo.

Un modelo más realista para simular el comportamiento de las ondas considera que la velocidad de propagación de la onda puede variar con su frecuencia, este fenómeno es conocido como dispersión. En este caso, $c$ debe remplazarse por la velocidad de fase:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.$

Otra corrección común a esta ecuación es considerar que la velocidad puede también depender de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no-lineal:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u$

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador en movimiento (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a los largo del flujo y negativo para la onda reflejada).

La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isotrópico. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe tales fenómenos como ondas sísmicas en la Tierra y ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Mientras sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinal y transversal:

$\rho{ \ddot{\bold{u}}} = \bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})$

Donde:

$λ$ y $μ$ son los módulos supuestos del Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.
$ρ$ es densidad,
$\bold{f}$ es la función de entrada (fuerza de impulso),
y $\bold{u}$ es el desplazamiento.

Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial.

Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.