Ecuación de Schrödinger

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La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger en 1925, describe la dependencia temporal de los sistemas mecanocuánticos. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa un papel análogo a las leyes de Newton en la mecánica clásica.

Tabla de contenidos

1 Discusión
- 1.1 Dualidad onda-corpúsculo
- 1.2 Interpretación estadística de la función de onda
2 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
3 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
4 Límite clásico de la ecuación de Schrödinger
5 Soluciones de la ecuación de Schrödinger

[editar] Discusión

[editar] Dualidad onda-corpúsculo

En 1923 Louis-Victor de Broglie formuló la hipótesis de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento. Esa hipótesis fue comprobada en 1927 cuando se observó la difracción de electrones, lo cual sugería que en ciertos experimentos esas partículas se comportaban como una onda. De hecho el experimento de Clinton Davisson y Lester Germer que dicha difracción se ajustaba a la fórmula de Bragg si en ella se introducía la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie. Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. En concreto la ecuación de Schrödinger para partículas muy pesadas tiende a la ecuación de Hamilton-Jacobi clásica (que en última instancia es equivalente a las leyes de Newton). La forma de esta ecuación ondulatoria escrita por Schrödinger, para el campo de materia o función de onda:

$-{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi (x,t) + V(x)\psi (x,t) = i \hbar {\partial \psi (x,t)\over\partial t}$

Para describir partículas clásicas localizadas debemos construir un descrita por un paquete de ondas altamente localizado que se desplaza por el espacio. La longitud de onda de dicha de las ondas que conformaban dicho paquete material están en torno a la longitud de De Broglie para la partícula, y la velocidad de grupo del paquete coincide con la velocidad del movimiento de la partícula lo que reconcilia la naturaleza corpuscular observada en ciertos experimentos con la naturaleza ondulatoria observada para partículas subatómicas.

[editar] Interpretación estadística de la función de onda

A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner Heisenberg y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger compleja tiene una integral de movimiento dada por ψ*(x)ψ(x) (= |ψ(x)|²) que podía ser interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio función de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado y por ese trabajo recibió el premio Nobel en 1954. Born ya había apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el conjunto de estados cuánticos llevaba de manera natural a construir espacios de Hilbert para representar los estados físicos de un sistema cuántico.

De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó a interpretarse de modo más abstracto como una amplitud de probabilidad. En la moderna mecánica cuántica, el conjunto de todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbert complejo y separable, y cualquier estado instantáneo de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.

[editar] Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Usando la notación bra-ket de Dirac, denotamos a un vector de estado en el instante de tiempo t del tipo introducido en la sección anterior, como |ψ(t)〉. La ecuación de Schrödinger es, entonces^[1]:

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

donde i es el número imaginario unidad, $\hbar$ es la constante de Planck dividida por 2π(constante reducida de Planck), y el Hamiltoniano H es un operador lineal hermítico y autoadjunto que actúa sobre el espacio de estados. El hamiltoniano describe la energía total del sistema. Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no la da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico.

Para más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, véase la formulación matemática de la mecánica cuántica.

[editar] Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Para cada hamiltoniano (si la energía potencial es independiente del tiempo), existe un conjunto de estados cuánticos, conocidos como estados propios para la energía que satisfacen la ecuación de valores propios:

$H |\psi(x)\rang = E |\psi(x)\rang$

donde $-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(r)$

[editar] Límite clásico de la ecuación de Schrödinger

Inicialmente la ecuación de Schrödinger se consideró simplemente como la ecuación de movimiento de un campo material que se propagaba en forma de onda. De hecho puede verse que en el límite clásico, cuando $\hbar \to 0$ la ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación clásica de movimiento en términos de acción o ecuación de Hamilton-Jacobi. Para ver esto trabajaremos con la función de onda típica que satisfaga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que tenga la forma:

$\psi(x,t) = e^{iS(x,t)/\hbar}$

Donde $S(x,t)/\hbar$ es la fase de la onda si substituimos esta solución en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo después de un poco de álgebra llegamos a que:

$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 \right] + V(x) = \frac{i\hbar}{2m} \Delta S$

Si se toma el límite $\hbar \to 0$ el segundo miembro desaparece y tenemos que la fase de la función de onda coincide con la magnitud de acción y esta magnitud puede tomarse como real. Igualmente puesto que la magnitud de acción es proporcional a la masa de una partícula $S = m s_m \,$ puede verse que para partículas de masa grande el segundo miembro es mucho más pequeño que el primero:

$\frac{\partial s_m}{\partial t}+\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol\nabla s_m \right\Vert^2 + V(x) = \lim_{m \to 0} \frac{i\hbar}{2m} \Delta s_m = 0$

Y por tanto para partículas macroscópicas, dada la pequeñez de la constante de Planck, los efectos cuánticos resumidos en el segundo miembro se anulan, lo cual explica porqué los efectos cuánticos sólo son apreciables a escalas subatómicas.

[editar] Soluciones de la ecuación de Schrödinger

Se pueden obtener soluciones analíticas de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para varios sistemas relativamente sencillos. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (como en mecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armónicos). Algunas de las soluciones analíticas más comunes son:

Números Cuánticos
La partícula en una caja
La partícula en un anillo
La partícula en un potencial de simetría esférica
El oscilador armónico cuántico
El átomo de hidrógeno
La partícula en una red monodimensional

Sin embargo, para muchos sistemas no hay solución analítica a la ecuación de Schrödinger. En estos casos, hay que recurrir a soluciones aproximadas, como: