Espiral logarítmica
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Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, "la espiral maravillosa", y quiso una grabada en su lápida. Por desgracia, se grabó en su lugar una espiral de Arquímedes.
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[editar] Definición
En coordenadas polares (r, θ) la curva puede escribirse como
, de aquí el nombre "logarítmica"
y en forma paramétrica como
con números reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que dirección está enrollada. Para b >1 la espiral se expande con un incremento θ, y para b <1 se contrae.
En términos de geometría diferencial la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente
Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta. Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en un círculo.
[editar] Propiedades
La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica en el mismo ángulo α, que puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)). El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral hace con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es un círculo; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 or b = ∞) es una línea recta desde el origen.
Comenzando en un punto P y moviéndose hacia dentro a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue Torricelli incluso antes de que se invertara el cálculo. La distancia total cubierta es r/cos(α), donde r es la distancia en línea recta desde P al origen.
Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 17,03239 utilizando los números de Fibonacci o la proporción áurea.
[editar] Espirales logarítmicas en la naturaleza
El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: su mejor visión está en ángulo con su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo del grado de la espiral.
Los insectos se aproximan a la luz según una espiral logarítmica porque acostumbran a volar con un ángulo constante a la fuente luminosa. Normalmente el Sol es la única fuente de luz y volar de esta forma consiste prácticamente en seguir una línea recta.
Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.
Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.
En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco. La razón es la siguiente: comienza con una figura irregular F0. Aumenta F0 en un cierto factor para obtener F1, y pon F1 junto a F0, de forma que se toquen dos lados. Ahora aumenta F1 en el mismo factor para obtener F2, y ponlo junto a F1 como antes. Repitiendo este proceso se produce aproximadamente una espiral logarítmica cuyo grado está determinado por el factor de expansión y el ángulo con que las figuras son puesta una al lado de otra.
